专题7.6 数学归纳法【解析版】.docx

专题7.6数学归纳法

【核心素养】

与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．

知识点

知识点一

数学归纳法

1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)

时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2.数学归纳法的框图表示

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：利用数学归纳法证明不等式

【典例分析】

例1-1.（2023·北京·统考高考真题）已知数列满足，则（????）

A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立

D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立

【答案】B

【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.

法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.

【详解】法1：因为，故，

对于A，若，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立，

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，

故为减数列，注意

故，结合，

所以，故，故，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，故恒成立仅对部分成立，

故A不成立.

对于B，若可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，

，，故，故，故为增数列，

若，则恒成立，故B正确.

对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立即

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为减数列，

又，结合可得：，所以，

若，若存在常数，使得恒成立，

则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.

对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，

证明：当时，，此时不等关系成立；

设当时，成立，

则，故成立

由数学归纳法可得成立.

而，故，故为增数列，

又，结合可得：，所以，

若存在常数，使得恒成立，则，

故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

法2：因为，

令，则，

令，得或；

令，得；

所以在和上单调递增，在上单调递减，

令，则，即，解得或或，

注意到，，

所以结合的单调性可知在和上，在和上，

对于A，因为，则，

当时，，，则，

假设当时，，

当时，，则，

综上：，即，

因为在上，所以，则为递减数列，

因为，

令，则，

因为开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，故，

所以在上单调递增，故，

故，即，

假设存在常数，使得恒成立，

取，其中，且，

因为，所以，

上式相加得，，

则，与恒成立矛盾，故A错误；

对于B，因为，

当时，，，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

又当时，，即，

假设当时，，

当时，因为，所以，则，

所以，

综上：，

因为在上，所以，所以为递增数列，

此时，取，满足题意，故B正确；

对于C，因为，则，

注意到当时，，，

猜想当时，，

当与时，与满足，

假设当时，，

当时，所以，

综上：，

易知，则，故，

所以，

因为在上，所以，则为递减数列，

假设存在常数，使得恒成立，

记，取，其中，

则，

故，所以，即，

所以，故不恒成立，故C错误；

对于D，因为，

当时，，则，

假设当时，，

当时，，则，

综上：，

因为在上，所以，所以为递增数列，

因为，

令，则，

因为开口向上，对称轴为，

所以在上单调递增，故，

所以，

故，即，

假设存在常数，使得恒成立，

取，其中，且，

因为，所以，

上式相加得，，

则，与恒成立矛盾，故D错误.

故选：B.

例1-2.（2017·浙江·高考真题）已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

【分析】

（I）用数学归纳法可证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；

（Ⅲ）由及，递推可得.

【详解】

（Ⅰ）用数学归纳法证明：．

当时，．

假设时，，那么时，若，

则，矛盾，故．

因此，所以，因此．

（Ⅱ）由得，

．

记函数，

，

函数在上单调递增，所以，

因此，故．

（Ⅲ）因为，所以，

由，得，

所以，故．

综上，．

【名师