专题8.4 直线、平面平行的判定及性质【原卷版】.docx

专题8.4直线、平面平行的判定及性质

【核心素养】

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．

知识点

知识点一

直线与平面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝?

a?α，b?α，a∥b

a∥α

a∥α，a?β，α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝?

a∥b

知识点

知识点二

空间两直线的位置关系

面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝?

a?β，b?β，a∩b＝P，

a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b

α∥β，a?β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

知识点

知识点三

判断或证明线面平行的常用方法

判断或证明线面平行的常用方法：

利用线面平行的定义，一般用反证法；

利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)

利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；

利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．

知识点

知识点四

平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

知识点

知识点五

几个唯一性定理

唯一性定理：

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：线面平行关系的判断与证明

【典例分析】

例1-1.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（???????）

A． B．

C． D．

例1-2.（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．

(1)求证：//平面；

(2)若，求三棱锥的体积．

【规律方法】

1.直线、平面间平行的判定方法

(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)利用实物进行空间想象，比较判断．

(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．

2.证明直线与平面平行的方法

(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．

(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．

【变式训练】

变式1-1.（2022·全国·高三专题练习）如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（）

①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF．

A．0 B．1 C．2 D．3

变式1-2.（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）如图，在四棱雉中，底面是正方形，，，点，分别为线段，的中点.

??

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

题型二：补全线面平行的条件问题

例2-1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：时，平面.

例2-2.（2021秋·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

??

(1)求证：；

(2)求证：平面；

(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.

【变式训练】

变式2-1.（2022秋·北京·高三北京市回民学校校考阶段练习）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式2-2.（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.

(1)证明：；

(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

题型三：面面平行的判断与证明

【典例分析】

例3-1.（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）