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微专题5非对称的“韦达定理”的处理
微点1对称的“韦达定理”的处理
【微点综述】
在一元二次方程中,若,设它的两个根分别为,则有根与系数关系:,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构,但在有些问题时,我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算,比如求或之类的结构,就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中,我们联立直线和圆锥曲线方程,消去或,也得到一个一元二次方程,我们就会面临着同样的困难,我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况,这些式子是非对称结构,称为“非对称韦达”,接下来,我们来谈谈常见的突破方式.
引例1.设直线过点,和椭圆顺次交于两点,则的取值范围为.
【答案】
【解析】设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得(*)
则,注意到,令,则,∴,,∴,即.
在(*)中,由判别式可得,从而有,∴,
解得.结合得.综上,.
【评注】经常出现在圆锥曲线的题型为:过点的直线与圆锥曲线交于不同的两点,且满足之类的,或者是之类的.其中,用坐标表示出来后,就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理;我们可以设他们的比值为,这样可以转化到,再用同样的办法来解决.
韦达化处理
由引例1可知,核心条件坐标化后,并不全是直接韦达化的形式.对于坐标化后的表达式不是韦达形式的,还需进行韦达化处理.韦达化处理主要有以下几种处理方法:代换、配凑、和积消元法.
韦达化处理一、代换——即消去x或y中的一个
由于我们联立后的方程式关于x或y的二次方程,韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x或y的形式,而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式,因此需进行代换:
例1.直线l与抛物线交于A、B两点,且满足,证明:直线l过定点.
【解析】由题,直线不与x轴平行,故设,其中,设点,
联立,消x得:,,则,因为,则,即,
(方向一:直线代换:)又,即,代入得,即,解得(舍)或,即直线过定点.
【评注】通常情况下,我们在解答题以直线代换居多,这里不再赘述.但需要注意一点,一般而言,如果选择代换消去y则正设直线;选择代换消去x,则反设直线.
(方向二:曲线代换:)
又,代入得,解得(舍)或,即直线过定点.
【评注】对于核心信息表达式中的一次项,一般以直线代换为主.而曲线如果为抛物线,也可以用抛物线代换,如例题中抛物线为,因此对于x的一次式可以用曲线代换.反之,如果抛物线为则可用曲线对y进行代换,由于我们要代换的是y,因此联立后的方程保留为关于x的二次方程,同时直线的假设则以正设为主.另一方面,如果核心信息表达式中是单元的二次形式,如形式,则一般考虑用曲线代换,这样处理会更加简单.
例2.在平面直角坐标系中,椭圆的上顶点为A,点B、C是上不同于A的两点,且点、关于原点对称.记直线AC、AB的斜率分别为、,求证:为定值.
【分析】此题中核心信息即直线AC、BC的斜率.由题易知点A(0,1),要表示AC、AB的斜率,还需要引入参数,因为B、C关于原点对称,故不妨设,那么是否需要设直线呢?再往后看.
引入参数后,将斜率坐标化表达:,目标信息为斜率之积,即,接下来需要考虑代换问题,观察到目标信息是二次形式,代换中我们提到,对于单元二次形式的,可采用曲线代换,由于此时还未假设直线,看来也是不需要了.由点B、C在曲线上,故有,即,代入目标信息中可得,为定值.
【解析】由题,设点,,则,又点B椭圆上,故有,即,代入可得,为定值,得证.
【针对训练】
1.已知椭圆的左、右焦点是,左右顶点是,离心率是,过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点),且的周长是,
直线与交于点M.
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上;
(ⅱ)N是定直线l上的一点,且PN平行于x轴,证明:是定值.
2.已知椭圆的离心率为,短轴长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点,直线AM与BN相交于点Q.证明:点Q在定直线上.
韦达化处理二:配凑
配凑法进行韦达化处理,一个经典案例就是弦长中的.对于前述坐标化后的部分式子,也需要作配凑处理:
(1),即,其中k为直线AB斜率,再用直线代换,即,得.此处需注意两点,一是,几何意义即为直线斜率,二是通过平方差公式因式分解转化,对于含平方形式是有力手段.
(2).
(3),此处考虑直线代换,
,
再代入上式即可得.
(4),
而,整理得.
(5)此形式可以配凑倒数关系,,故,
配凑可得.
韦达化处理三、利用韦达定理构造“和积消去”型
此外,在一些定点、定值、定线
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