专题6 圆锥曲线硬解定理 微点1 圆锥曲线硬解定理（学生版）.docx

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专题6圆锥曲线硬解定理

微点1圆锥曲线硬解定理

【微点综述】

圆锥曲线与直线的联立及弦长的计算，一般较为繁琐，本专题拓展了硬解定理等公式，这些公式形式都比较简洁，利于记忆．在解题过程中我们可以借用一些口诀，快速写出答案，当然一些应该有的过程还是要写出来．

一、硬解定理及拓展公式

二次曲线方程用①表示，与直线②相交于两点，联立①②式可得，

最终的二次方程：

消去得：，

消去得：，

可得如下公式：

（1）判别式：

（2）韦达定理

，，

（3）弦中点公式：，

（4）弦长公式：（记，下同）；

．

（5）向量组：

第一组：

公式简证：，

，

．

说明：根据写的方法：互换；互换；不变．

第二组：向量的数量积

公式证明：

．

（6）斜率组：斜率和

已知点，，，直线的方程为．

则直线，的斜率和

（记忆要点1：分母中，即在直线上．

记忆要点2：分子的记忆

公式证明：

代入韦达定理和公式②、④得

，

即．（设）

二、硬解定理及拓展公式的几个口诀

1．一元二次方程：

口诀：两家（加）小两口（）

A方AC偶

A方站门外，C方单身狗

如果写出了这个式子，韦达定理就可以快速写出两根之和，两根之积．

2．弦长公式也有口诀可以速算

口诀：小倍积，大方和

成对去见（减）单身C．方

见完回到分母上

3．判别式

只需要记住“成对去见单身方”即可

直线与椭圆相切

直线与椭圆相交

直线与椭圆相离

4．麻花公式

口诀：大倍积小方积

三、硬解定理的进一步推广

以上我们就直线与椭圆推导出相应的结论，以下几种情形：

①直线与椭圆：只需把互换即可得相应的公式；

②直线与双曲线：只需用替换即可得相应的公式；

③直线与双曲线：只需用分别替换即可得相应的公式．

④若设直线，则它与椭圆、双曲线相应的结论表如下：（推导过程略）

说明：椭圆部分的算出来与原定理的一致，另外，直线也可能设为，可得相应的结论，就不再赘述了．对于直线与抛物线相交的情形较简单，这里也不再叙述．

四、硬解定理的应用举例

例1．过椭圆的右焦点作直线l与椭圆交于A，B两点，弦长，则直线l的斜率为_______．

【答案】

【解析】解法1：椭圆的，右焦点为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，，即有，

由椭圆的第二定义可得，，

解得．

解法2：．

设直线方程，，由公式得：，，．

例2．设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，椭圆的离心率为．如果，求椭圆C的方程．

【解析】解法1：由，得，则椭圆方程为，即，∵直线l过右焦点F，且倾斜角为60°，∴直线l的方程为，

联立，消去y得：．

设，则，，解得，∴椭圆方程为：．

解法2：，设直线方程，，由公式得：，

，又，∴，解得，椭圆方程为．

例3．已知直线与椭圆交于两点（不是左右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求△面积的最大值．

【解】设直线的方程为，则有在本题中有：

代入，有方程，

代入，

有，

代入韦达定理有，，，

∵以为直径的圆过点，∴，即，即，代入得

，

这里在直线上，，化简得，

即，∴（舍去）或，

，

，

令，则，

，

又当不存在时，．综上，△的面积最大值为．

例4．已知椭圆，椭圆的右焦点为F．

（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；

（Ⅱ）判断点与椭圆的位置关系，并求以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程．

【解析】解法1：（1）由题意可得：过点F且斜率为1的直线方程为，

联立直线与椭圆的方程可得：，∴，

由弦长公式可得：．

（Ⅱ）设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，

∵为EF中点，∴，把分别代入椭圆，

得，∴，

∴，∴，

∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为：，整理，得．

解法2：，直线方程，

，由公式得：．

例（2022宁县校级期末）

5．已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求弦AB的长．

【解析】（1）由已知可得：，联立解得：．

∴椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）解法1：直线l的方程为：，即．设，

联立，化为：，∴，

∴．

解法2：，直线方程，

，由公式得：．

例6．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设Р为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求的值；若