专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点2 圆锥曲线第二定义的应用（二）（学生版）.docxVIP

答案第=page11页，共=sectionpages1212页

答案第=page1010页，共=sectionpages1212页

专题9圆锥曲线第二定义的应用

微点2圆锥曲线第二定义的应用（二）

【微点综述】

过圆锥曲线焦点的弦称为焦点弦，关于焦点弦问题，除了运用弦长公式外，常利用过焦点的特点，即用圆锥曲线统一定义求出焦半径，从而得到焦点弦的长，也可使与焦点弦相关的问题获得简解，达到优化解题、提高解题效率的效果.本节在上一微点的基础上，进一步概述圆锥曲线第二定义的应用.

（四）求离心率（或其取值范围）

例1.已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为______.

【答案】

【解析】解法1：，根据题意，，，，点D的横坐标为，纵坐标为，假设点D在第一象限，代入椭圆方程，可得，解得，，.

解法2：设为直线BD的倾斜角，因为，所以，且，代入，得，.

【评注】应用以下两个结论，可以快速求出椭圆或双曲线的离心率（或其取值范围）.

（1）椭圆与双曲线焦点弦长公式：（为直线与焦点所在轴的夹角）；

（2）在圆锥曲线中，若，则有（为直线与焦点所在轴的夹角）.

例2.（2021·重庆·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.

【详解】由双曲线定义知，

则，，∴，

∴的周长为，

∴，，

由，

∴，故，∴，

∴，，∴，

在中，，故.故选A.

【评注】本题的关键点是：由得到.

（五）求最值

例3.过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】利用焦半径公式得，设中点，利用点差法可求得，进而求得弦的中垂线方程，求得其在轴上的截距，利用在椭圆“内”，可求得结果.

【详解】∵成等差数列，，

利用焦半径公式得：，，代入可得

设中点，椭圆上不同的两点，

，两式作差可得，，

∴弦的中垂线的方程为：，

当时，，此即的中垂线在轴上的截距，

在椭圆“内”，，得，，故选C.

【评注】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：

①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解.

例4.（2017·新课标Ⅰ理10）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】解法1：如图，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，要使最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线过点，则直线的方程为，联立方程组，则，∴，，

∴，∴的最小值为，故选A.

解法2：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，根据焦点弦长公式可得，

，∴，

∵，∴当时，的最小，最小为16，故选A.

【评注】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线的定义，到定点的距离要想到转化到准线上.另外，直线与抛物线方程联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数思想与方法及基本不等式进行解决.

例5.（2021·云南大理·二模）设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标的特点结合基本不等式求解出的最小值.

【详解】如图所示，∵圆的方程为即为，∴圆心为，即为抛物线的焦点且半径，

∵，∴，

又∵，，∴，

设，∴，∴，∴，

∴，取等号时.

综上可知：.故选D.

【评注】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.（1）已知抛物线上任意一点以及焦点，则有；（2）当过焦点的直线与抛物线相交于，则有.

例6.（2022江苏南京六合月考）已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为_