《变化率问题2》教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

春季

课题

《变化率问题（2）》

教科书

书名：《普通高中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1、知识与技能：理解曲线上某点处切线的定义，掌握曲线某点处切线斜率的求法，理解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；

2、过程与方法：通过割线斜率无限逼近求极限的方法求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法；

3.情感、态度与价值观：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学源于生活，也应用于生活。

教学内容

教学重点：

1.切线的定义，曲线上某点处切线的斜率的求法；

2.平均速度、瞬时速度的几何意义；

教学难点：

1.无限逼近的极限思想。

2.由特殊到一般的数学思想。

教学过程

温故知新

我们先研究了运动员在某段时间的平均速度，在不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0.我们分别用计算和极限的方法求得了运动员的瞬时速度，并由此得到了任意时刻t0瞬时速度的表达式。通过这个过程，我们认识到瞬时速度是平均速度当时间间隔无限趋近于0时的极限。从函数的角度看，运动员在某段时间的平均速度就是这个时间段的平均变化率，而运动员在某一时刻的瞬时速度就是这个时刻的瞬时变化率。我们知道，函数可以用图像来表示，数形结合是研究函数的常用方式，那么从函数图像上看，平均变化率与瞬时变化率有什么几何意义呢？我们这节课就从形的角度继续研究变化率问题

探索新知

问题1：抛物线f(x)=x2在点

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线C，如何定义它的的切线呢？

追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？

追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公共点吗？

所以我们不能以研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了。

探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点

类比上节课的研究思路，我们求得了运动员在时间段[1,1+Δt]内的平均速度v

v

平均速度的表达式从几何意义上看，表示过点1，h1和点1+?

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2

观察：当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2

利用几何画板演示：观察割线P0

当点P从右侧不断靠近点P0时，割线P0P无限趋近于如图显示的直线P0T的位置，我们在演示一遍；当点P从左侧不断靠近点P0时，割线

我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0

探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)

从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率是有内在联系的。既然切线是割线的极限位置，那么切线斜率也是割线斜率当P→P0的极限值。我们不妨

于是，割线P0P的斜率

其中?x可以是正值，也可以是负值，但不为0.

让横坐标变化量?x趋近于0，观察割线斜率的变化情况。我们不妨借助信息技术EXCEL表格进行观察：

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔

Δx0

Δx0

Δx

k=Δx+2

Δx

k=Δx+2

-

1.99

0.01

2.01

-

1.999

0.001

2.001

-

1.9999

0.0001

2.0001

-

1.99999

0.00001

2.00001

-

1.999999

0.000001

2.000001

……

……

通过演示发现，当?x趋近于0时，斜率k会无限趋近于2.

观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当?x无限趋近于0时，割线P0

我们发现，当Δx无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于

但是，与上节课一样，计算的方式是有限的，我们需要从更加理性的角度加以说明。

事实上，由k=f(1+Δx)-f(1)Δx=Δx+2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx+2无限趋近于2.我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，

从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0

问题2：你能用上述方法，求抛物线f(x)=x2在点P0(2,4)

记Δx=x-2，则点P的坐标是

于是，割线P0P的