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静电源像法求解格林函数
摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉
斯方程与泊松方程边界间题的关键。同时,静电源象法也是物理专业学生在电动
力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。针对这个间题文章归纳出利
用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值
静电源像法理论依据
静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应
电荷产生的点位。当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的
方法求的格林函数。在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电
位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位
就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。在
点放置一单位电荷，在半射线上截线段使
=，（1.1）
其中,,称点为关于球面K的反演点。设P是球面K
上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角
的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。有相似性得到，
对球面K上任意点P必有。在点处有一个点电荷，根据上
式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处
的点电
的电量为-,因此
,
这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：
,(1.2)
现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问
题的解。应用
，
其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格
林函数：,
易知在球面K上，
-
=
因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为
，（1.4）
球坐标形式如下
其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，
。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题
要求一个半空间z0上的调和函数，它在平面z=0上取函数
f(x,y):
.点的对称点是。由
此，有如下的格林函数：
对于半空间z0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即
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