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11.4TheCrossProduct
THECROSSPRODUCTThecrossproductaxboftwo
vectorsaandb,unlikethedotproduct,
isavector.Forthisreason,itisalsocalledthevectorproduct.Notethataxbisdefinedonlywhenaandb
arethree-dimensional(3-D)vectors.
Ifa=?a1,a2,a3?andb=?b1,b2,b3?,then
thecrossproductofaandbisthevectori.e.axb=?a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1?THECROSSPRODUCTDefinition1
Ifa=1,3,4andb=2,7,–5,thenCROSSPRODUCTExample1
Showthataxa=0foranyvectorainV3.Ifa=a1,a2,a3,
thenCROSSPRODUCTExample2
Thevectoraxbisorthogonal
tobothaandb.CROSSPRODUCTTheorem
CROSSPRODUCTProofAsimilarcomputationshowsthat
(axb)·b=0Therefore,axbisorthogonaltobothaandb.
Infactwecanshowthat:
Letaandbberepresentedbydirected
linesegmentswiththesameinitialpoint,
asshown.CROSSPRODUCT
Then,Theorem11.4.4statesthatthecrossproduct
axbpointsinadirectionperpendiculartotheplanethroughaandb.Itturnsoutthatthedirectionofaxbisgivenbytheright-handrule,
asfollows.CROSSPRODUCT
Ifthefingersofyourrighthandcurlin
thedirectionofarotation(throughananglelessthan180°)fromatob,thenyourthumbpointsinthedirection
ofaxb.RIGHT-HANDRULE
Weknowthedirectionofthevectoraxb.Theremainingthingweneedtocompleteitsgeometricdescriptionisitslength|axb|.Thisisgivenbythefollowingtheorem.CROSSPRODUCT
Ifθistheanglebetweenaandb
(so0≤θ≤π),then||axb||=||a||||b||sinθ;Twononzerovectorsaandbareparallelifandonlyifaxb=0TheareaAoftheparallelogramthathasbandcasadjacentsidesis
A=||bxc||CROSSPRODUCTTheorem11.4.5
(a)Fromthedefinitionsofthecrossproduct
andlengthofavector,wehave:||axb||2
=(a2b3–a3b2)2+(a3b1–a1b3)2+(a1b2–a2b1)2
=a22b32–2a2a3b2b3+a32b22+a32b12
–2a1a3b1b3+a12b32+a12b22
–2a1a2b1b2+
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