串讲03 直线的方程（考点串讲）（解析版）.docx

串讲03直线的方程

知识结构

要点梳理

知识点一倾斜角

定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

规定

当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__.

图示

范围

0°≤α180°

作用

(1)

用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__

(2)

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可

知识点二斜率(倾斜角为α)

定义

α≠90°

一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率

α＝90°

斜率不存在

记法

斜率k＝tanα

范围

__R__

公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝__eq\f(y2－y1,x2－x1)__

作用

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度

知识点三直线的点斜式方程

(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程．

(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__．

知识点四直线的斜截式方程

(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程．

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程．

强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．

(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．

知识点五直线的一般式方程

关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的__一般式方程__，简称一般式．

思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

提示：都可以，原因如下：

(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．

(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.

题型探究：

考点一直线的倾斜角和斜率

例1.给出下列命题：

①任何一条直线都有惟一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．

正确命题的个数(A)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，

这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．

例2.若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可.

【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，

斜率,.

故选：B

例3．已知两点，所在直线的斜率为，则.

【答案】

【分析】根据两点的斜率公式计算可得.

【详解】因为两点，所在直线的斜率为，

所以，解得.

故答案为：

【归纳提升】(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．

【变式】1.图中能表示直线的倾斜角的是（????）

A．①④ B．①② C．①③ D．②④

【答案】C

【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.

【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角，

图③中的的对顶角为直线的倾斜角，

图②中的的补角为直线的倾斜角，

图④中的为直线的倾斜角.

故符合题意的只有①③.

故选：C

2.经过两点，的直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小．

【详解】∵直线经过两点，，

∴直线垂直轴，故倾斜角为．

故选：C．

3.已知直线经过两点，，则它的斜率为．

【答案】/

【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率.

【详解】因为直线经过两点，，

所以它的斜率为.

故答案为：.

考点二直线的点斜式方程

例4.求满足下列条件的直