2023年《数学思想与方法》形成性考核册作业答案.pdfVIP

数学思想与方法》形成性考核册作业1答案

作业1

一、简答题

1、分别简朴叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。

答：算术解题方法的基本思想：一方面要围绕所求的数量，收集和整理各种

已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则

运算求得算式的结果。

代数解题方法的基本思想是：一方面依据问题的条件组成内含已知数和未知

数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知

数的值。

它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的

量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方

程。

2、比较决定性现象和随机性现象的特点，简朴叙说拟定数学的局限。

答：人们经常碰到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机

现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一拟定。因此决

定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。

随机现象的特点是：在一定的条件下，也许发生某种结果，也也许不发生某

种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。

在数学学科中，人们经常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为拟

定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而

拟定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用

拟定数学来加以定量描述。同时拟定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象

中所蕴涵的规律性。这些是拟定数学的局限所在。

二、论述题

1、论述社会科学数学化的重要因素。

答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其重要

因素可以归结为有下面四个方面：

第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最主线

的因素。

第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精

确化。

第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的

数学分支。

第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象通过量化后可以进行

数值解决。

2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。

答：第一次数学危机促使人们去结识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑

的产生。

第二次数学危机促使人们去进一步探讨实数理论，导致了分析基础理论的完

善和集合论的产生。

第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代

数学的产生。

由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引

起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。

整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

三、分析题

1、分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？

答：（1）封闭的演绎体系

由于在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明

所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除

原始概念）也基本上是符合逻辑上

对概念下定义的规定，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个

封闭的演绎体系。

此外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问

题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》

是一个封闭的演绎体系。

（2）抽象化的内容：《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，

它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会

生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原

本》的内容是抽象的。

（3）公理化的方法：《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是

全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定

理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公

理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办

理。这种解决知识体系与表述方法就是公理化方法。

2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？

答：（1）开放的归纳体系：从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用