四节函数极值与值.pptxVIP

第四节函数的极值与最值

一.函数的极值

定义

设函数

在点

的某邻域内有定义,

如果对该邻域内的任意点

总有

则称

是函数

的极大值,

点

称为函数

的极大值点;

如果对该邻域内的任意点

总有

则称

是函数

点

称为函数

的极小值点.

的极小值,

(1)极大值、极小值统称为极值；

极大值点、极小值点统称为极值点；

(2)极值是函数值,极值点是自变量的值.

(3)极值是一个局部性概念.

(4)只有区间内部的点才有可能成为

极值点.

点

是函数

的极值点的必要

条件为

或者

不存在.

证

设

在

处可导,

点

为函数

的极大值点

故

从而命题成立.

定理4.7

不存在

驻点

注一般来说圈中的

点为有限多个.

设函数

在点

的某个空心邻域

内可导,

且在

处连续.

如果在点

左邻域内有

在点

右邻域内有

则

是

的极大值点;

如果在点

左邻域内有

在点

右邻域内有

则

是

的极小值点;

如果在点

的某个空心邻域内,

不变号,

则

不是

的极值点.

的

的

定理4.8

大小大

小大小

不变号

无极值

口诀

例1

求函数

的单调区间和极值.

解

定义域为

令

得

另外

时

不存在

不存在

极大值

极小值

设函数

在点

的某个邻域

内可导,

且

存在

若

则

在点

取得极大值;

若

则

在点

取得极小值.

证

因

则在点

的某个空心邻域内

在点

取得极大值.

定理4.9

例2

求函数

的极值.

解

令

得

定义域为

故

在

处取得极小值

建议:

1.如果可能的极值点只有导数等于零的点,

建议用定理4.9

2.如果可能的极值点只有导数不存在的点,

必须用定理4.8

3.如果可能的极值点既有导数等于零的点

又有导数不存在的点,建议用定理4.8

例

设

在

内连续,其导数

图形如图所示,则

有()

一个极小值点和两个极大值点.

两个极小值点和一个极大值点.

两个极小值点和两个极大值点.

三个极小值点和两个极大值点.

二.函数的最值

1.闭区间

上的连续函数

求最值.

不存在

驻点

极值点

例3

求函数

上的最值.

解

令

得

在

另外

时

不存在

故最大值

最小值

2.闭区间

上的单调函数

求最值.

3.

上连续,

内只有一个极值点,

在闭区间

在开区间

那么这个极值点一

定是最值点.

例4

要造一个容积为

的无盖圆柱形桶,

其底用铝制造,侧面用铁制造,已知铝

与铁的单位面积价格比为

问桶的底半径

与高

各为多少时,

才能使桶的造价最低?

解

设桶的造价为

设每平方米铁皮的价格为

则每平方米铝皮的价格为

则

令

得

又

故

是唯一极值点且为极小值点,从而

是最小值点.

此时

例5

某产品总成本

(单位:万元)为年产量

(单位:万元)的函数

其中

为待定系数,已知固定成本为4万元,

且当年产量

百吨时,总成本

万元,

问年产量为多少时才能使平均单位成本

最低?

解

由

及

知

令

得

又

故

是唯一极值点且为极小值点,

从而是最小值点.

所以年产量为4百吨时,平均单位成本最低.

例6

某厂生产某种产品,年产量为

(百台),

总成本为

(万元),其中固定成本为2万元,

每生产1百台成本增加1万元,

市场上每年

可销售此种商品4百台,其销售总收入

是

的函数

问每年生产多少台时总利润最大?值是多少?

解

令

得

又

故

是唯一极值点且为极大值点,

从而是最大值点.

所以

解

每年分

则

某工厂生产过程中每年需要一种零件

8000个,分若干批进货,

零件的消耗是均匀的,

例7

每次进货费为

已知每个零件每年

的库存费为4元,

如果

问零件分几批进货,

能使库存费与进货费最省?

批进货,

总费用为

则

令

得

又

故

是唯一极值点且为极小值点,

从而是最小值点.

所以

利用最值证明不等式

例8设

且

证明

证

因

则

则

又

设

令

得唯一解

又

故

是唯一极值点且是极小值点

从而是最小值点

因此

所以

令

得唯一解

又

例9

证明

时

证明:

取

则

由

得

而

故

是唯一极值点且是极小值点,

小值点,

因此

从而是最