串讲01 指数幂与指数函数（考点串讲）（解析版）.docx

串讲01指数幂与指数函数

知识结构

要点梳理

知识点一根式

1．n次方根

定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*

个数

n是奇数

a＞0

x＞0

x仅有一个值，记为eq\r(n,a)

a＜0

x＜0

n是偶数

a＞0

x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)

a＜0

x不存在

[归纳总结](1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．

(2)eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．

2．根式

(1)定义：式子__eq\r(n,a)__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__.

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①(eq\r(n,a))n＝a.

②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))

知识点二指数幂

1.分数指数幂的意义

分

数

指

数

幂

正分数

指数幂

规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝__eq\r(n,am)__(a0，m，n∈N*，且n1)

负分数

指数幂

规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝__eq\f(1,\r(n,am))__

(a0，m，n∈N*，且n1)

0的分数

指数幂

0的正分数指数幂等于__0__，

0的负分数指数幂__不存在__

2.无理数指数幂

无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．

3.实数指数幂的运算性质(a0，b0，r，s∈R)

(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．

[知识点拨]在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展．

知识点三指数函数

1.函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．

思考：为什么指数函数的底数a0，且a≠1?

提示：①如果a＝0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．

②如果a0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．

③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a≠1.

2.指数函数的图象和性质

0＜a＜1

a＞1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

在R上是减函数

在R上是增函数

思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，为什么一定过点(0，1)?

提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)．

题型探究：

考点一n次方根的概念

例1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（??）

A．B． C． D．

【答案】D

【分析】根据根式的性质，负数无偶次方根判断.

【详解】A.式子对于有意义；

B.式子对于有意义；

C.式子对于有意义；

D.式子对于无意义；

故选：D

例2.若有意义，则a的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得.

【详解】由有意义，得，解得，

所以a的取值范围是.

故选：B

『规律方法』(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；

(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．

【变式】1.是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用根式有意义的条件即可判断.

【详解】当时，的偶次方根无意义.

故选：D

2.若，则化简的结果是（????）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】利用分数指数幂的性质即可得解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B.

考点二根式的化简

例3．当有意义时，化简的结果是（????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可.

【详解】因为有意义，所以，则，

则

，

故选：C.

[归纳提升]1.根式化简或求值的注意点

解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

2．对eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的进一步认识

(1)对(eq\r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq\r