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代数学引论第二版答案

【篇一：代数学引论第一章答案】

则g.证明:对任意a,b错误！未找到引用源。g,由结合律我们可得

到

(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群g为交换群.

2.如果群g中,每个元素a都适合a2=e,则g为交换群.证明:[方法

1]对任意a,b错误！未找到引用源。g,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此g为交换群.

[方法2]对任意a,b错误！未找到引用源。g,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知g为交换群.

3.设g是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1)

a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出b=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明g

在该乘法下成一群.证明:[方法1]

设g={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！

未找到引用源。j(i,j=1,2,…,n),有

akai错误！未找到引用源。akaj1aiak错误！未找到引用

源。ajak2

再由乘法的封闭性可知

g={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}3

g={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}4

由1和3知对任意at错误！未找到引用源。g,存在am错误！未找

到引用源。g,使得

akam=at.

由2和4知对任意at错误！未找到引用源。g,存在as错误！未找

到引用源。g,使得

asak=at.

由下一题的结论可知g在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方

法2]

为了证明g在给定的乘法运算下成一群，只要证明g内存在幺元(单

位元)，并且证明g内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设

g={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)证明g内存在幺元.

1存在at错误！未找到引用源。g，使得a1at=a1.(这一点的证明并

不难，这里不给证明);2证明a1at=ata1;因为

a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=

(a1)2,

故此

a1(ata1)at=a1(a1at)at.

由条件(1),(2)可得到

a1at=ata1.

3证明at就是g的幺元;对任意ak错误！未找到引用源。g,

a1(atak)=(a1at)ak=a1ak

由条件(2)可知

atak=ak.

类似可证

akat=ak.

因此at就是g的幺元.(Ⅱ)证明g内任意元素都可逆；

上面我们已经证明g内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用

a,b,c,…等符号记g内元素.下面证明任意a错误！未找到引用源。g，

存在b错误！未找到引用源。g，使得

ab=ba=e.

1对任意a错误！未找到引用源。g，存在b错误！未找到引用源。

g，使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

2证明ba=ab=e;因为

a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此g内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知g在该乘法下成一群.

4.设g是非空集合并在g内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结

合律,并且对于任一对元素a,b错误！