串讲04 两条直线的位置关系（考点串讲）（解析版）.docx

串讲04两条直线的位置关系

知识结构

要点梳理

知识点一两条直线(不重合)平行的判定

类型

斜率存在

斜率不存在

前提条件

α1＝α2≠90°

α1＝α2＝90°

对应关系

l1∥l2?__k1＝k2__

l1∥l2?两直线的斜率都不存在

图示

知识点二过一点与已知直线平行的直线方程

(1)由已知直线求出斜率，再利用平行的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；

(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1.

知识点三两条直线的交点坐标

(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．

(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．

一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)).

当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；

当方程组__无__解时，l1与l2平行；

当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合．

知识点四两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__．

[归纳总结]当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．

知识点五距离公式

1、两点间的距离公式

一般地，设、为平面内任意两点，

、之间的距离

2、点到直线的距离公式

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__.

3、两条平行直线间的距离

一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C1|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．

题型探究：

考点一两直线平行的判定

例1.下列说法中正确的有（????）

①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；

②若，则；

③所有的直线都有倾斜角；

④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例.

【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；

对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误；

对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；

对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.，

故正确的个数为2.

故选：B

例2.判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：

(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；

(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；

(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)；

(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．

[分析]斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2?k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．

[解析](1)k1＝eq\f(1－?－2?,2－?－1?)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．

(2)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合．

(3)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－?－1?)＝－1，则有k1＝k2.

又kAM＝eq\f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2.

(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.

【归纳提升】两直线平行的判定及应用

1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．

2．若