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§3.2（有限）积空间给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果,则x与y的距离定义为其中是R中的两个点和的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．

定理3.2.1设是n＞0个度量空间，（X，）是它们的积空间．又设和分别是由度量和所诱导出来的和X的拓扑，其中.则X的子集族:先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．是X的拓扑的一个基．

定理3.2.2设是n≥1个拓扑空间．则有惟一的一个拓扑以X的子集族为它的一个基．

定义3.2.2设是n≥1个拓扑空间．则的以子集族为它的一个基的那个惟一的拓扑称为拓扑的积拓扑，拓扑空间（X，）称为拓扑空间的（拓扑）积空间．

定理3.2.3设是n≥1个度量空间的度量积空间．则将X和都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间．定理3.2.4设是n≥1个拓扑空间的积空间，对于每一个，拓扑空间有一个基．则X的子集族是拓扑空间X的一个基．

定理3.2.5设是n≥1个拓扑空间的积空间．令为X的拓扑，为的拓朴，．则X以它的子集族为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射：X→是笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射．