将军饮马问题专项训练.docVIP

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将军饮马问题专项训练

一、基本模型

古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题．

二、实战演练

1．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB

上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），

使得总路程最短．

【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程最短．

2．将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程最短?

3．如图，点M在锐角内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

4．已知内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM，ON于点A、B，已知，则△PAB的周长为（）．

A.15B7.5C.10D.24

5．已知，试在内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等．

6．已知，P为内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求的度数．

7．如图，在四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．

8．已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．

9．如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理?

10．已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最小．

11．如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．

12．如图，已知内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小．试画出图形，并说明理由．

13．如图，直角坐标系中有两点A、B，在坐标轴上找两点C、D，使得四边形ABCD的周长最小．

.

.A

.B

14．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近?

15．，试判断：当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．

16．如图，在等腰梯形ABCD中，，，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．

17．已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗?

18．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

19．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．

解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边

AB的中点，P是AC边上的一动点，则的最小值为________；

（2）几何拓展：如图2，△ABC中，，，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；

（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．