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基本不等式求最值的常用方法
常数代换法
1、直接“1”代换
已知正数、满足,求的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
变式.已知正数、满足,求的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
2、间接“1”代换
若、为正实数且,求的最小值.
解析:即,
当且仅当即,时取“”
例2.若正数、满足,求的最小值.
解析:即
当且仅当即,时取“”
例3.已知、均为正数,且,求的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
已知函数的图像恒过定点,若点在直线()
上,求的最小值.
解析:由题意可得的坐标为(1,1)则有
当且仅当即时取“”
已知函数(且)的图像恒过点,若直线
()经过点,则的最小值是多少?
解析:由题意得(1,1)则
当且仅当即时取“”
3.部分“1”代换
例.若正数、满足,求的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
二、双换元法
1.有两项分母较长
已知正数、满足,求的最小值.
解析:令,则
当且仅当即,时取“”
变式1.若,且,则的最小值为多少?
解析:令,可得,,
当且仅当即,时取“”
变式2.已知,且,求的最小值.
解析:令可得由得
即
得
当且仅当即即,时取“”
2.有一项分母较长
例.已知为正实数,求的最小值.
解析:令可得
当且仅当即即时取“”
三、主元思想法:当要求的元素在条件里出现的时候
已知,,,若恒成立,求实数的最大值.
解析:两边平方得,
恒成立即(本题将作为主元)
当且仅当即,时取“”
若正实数满足,则的最小值是多少?
解析:令
可得解得(舍去)
得的最小值是18当且仅当即,时取“”
已知,,,求的最小值.
解析:
由上面两式得令
得解得即的最小值为4
当且仅当即,时取“”
例4.已知均为正数,且,求的范围
解析:,令,可得
解得
当且仅当即,时取“”
例5.已知,,且,求的最小值.
解析:,即
,令
得解得即的最小值为6
当且仅当即,时取“”
四、拼凑法
1.项数拼凑
例1.求函数的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
变式1.求函数在上的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
变式2.已知关于的不等式在上恒成立,求的最小值.
解析:,只需即可,
求函数()的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
变式.已知,为大于的常数,求的最小值.
解析:
当且仅当即,时取“”
2.系数拼凑
当时,求的最大值.
解析:
当且仅当即,时取“”
已知,,且,求的最大值.
解析:
当且仅当即,时取“”
五、分子分母不齐次
1.低次换元法
求的最小值.
解析:令,则
则
当且仅当即,时取“”
例2.求的值域.
解析:令,则
当且仅当即,时取“”
2.分子常数法
求函数的最大值.
解析:(将分子化成常数)
当且仅当即时取“”
例2.若对任意,恒成立,则的取值范围是多少?
解析:
当且仅当即时取“”
六、两元消参法
若,,,求的最小值.
解析:
则
当且仅当即时取“”
已知,,,则的最小值是多少?
解析:,,则
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