2024年数学新高考《函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题》及答案.docx

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题

【方法技巧与总结】

1.不动点与稳定点

【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x∈I，使得f(x)=x，则称x是函数f(x)的一阶不

0

0

0

0

动点，简称不动点．

①不动点是方程x=f(x)的解

②不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标

【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x∈I，使得f(f(x))=x且f(x)≠x，则称x为函

0

0

0

0

0

0

数f(x)的二阶周期点

y=f(x)

?

①二阶周期点是方程组x=f(y)的解

??

x≠y

②二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标

【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x∈I，使得f(f(x))=x则称x为函数f(x)的二阶

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0

不动点，简称稳定点

①稳定点是不动点和二阶周期点的并集

②稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标

2.两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解

【典型例题】

1(2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y=13-x2-2(x∈[-3,3])的图象绕点

(-3,0)

逆时针旋

转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为

(

)

3

2

2

3

A.

B.

C.1

D.

3

2(2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数f?x?=ln?x+1??x≥0?，将函数f?x?的图象绕原点逆时

针旋转α?α∈?0,θ??角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则θ的最大值为(

)

π

6

π

4

π

3

π

2

A.

B.

C.

D.

3(2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f(x)=ax-ex与函数

g(x)=xlnx+1

的图像上恰有两对关于

x

轴对称的点，则实数a的取值范围为(

)

e-1

2

e-1

2

?

A.(e-1,+∞)

B.

,+∞

C.

,+∞

D.(-∞,e-1)

?

?

?

?

?

4(2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数f?x?=ax-xlnx与函数g?x?=ex-1

的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为(

)

1

1-e

2

1-e

2

?

A.?-∞,1-e

B.-∞,

?

C.?-∞,1-e

?

D.-∞,

?

?

?

?

?

5(2024·全国·高三专题练习)对于连续函数f?x?，若f?x0?=x，则称x为f?x?的不动点．设f?x?=

0

0

x

1

，若f?x?有唯一不动点，且f?x0?=

，xn=f?xn-1??n=1,2,??，则x2023

=

．

a?x+2

?

1012

6(2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f?x0

?

=x，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x为该函数的一个不动点，现新定义：若x满足fx?=

?

0

0

0

0

-x，则称x为fx的次不动点，有下面四个结论

??

0

0

0

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

3

2

③当1≤a≤时，函数f(x)=log2?4x-a?2x+1?在

[0,1]

上仅有一个不动点和一个次不动点．

1

2

④不存在正整数m，使得函数f(x)=ex-

x-m

在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为

[0,1]

．

7(2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f(x)，如果存在点x0，

使得f?x0?=x