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2025年研究生考试考研数学（三）自测试题及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、已知矩阵A=[12;34]，则A^3=_______．

A.[1020;3040]B.[3158;85154]C.[70100;150220]D.[1936;5194]

首先，我们已知矩阵A=

计算A2

A

接下来，计算A3

A

但是，这个结果并不是选项中的任何一个。我们需要检查计算过程。实际上，我们在计算A2时是正确的，但在计算A3时错误地使用了A和A2

重新使用A2=7

A

然而，这个结果仍然不是选项中的任何一个。这说明我们在计算A2和A

再次检查A2

A

这是正确的。

现在，我们用正确的A2来计算A

A

2、设函数f(x)=(sinx-cosx)(sinx+cosx)+2cos^2x，则f(x)的最小正周期为()

A.π/2B.πC.2πD.4π

答案：B

解析：

首先，我们将函数fx

f

利用三角恒等式sin2x+cos2x=

继续化简得：

f

然而，这并不是最简形式。我们可以利用cos2

f

现在，函数fx已经化简为32+12cos2x。由于cos2x的周期为2π，但函数fx中包含的是

故答案为：B.π

3、已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ^2)，且P(ξ0)=0.2，则P(0ξ2)=()

A.0.4B.0.6C.0.8D.0.9

首先，随机变量ξ服从正态分布N1,σ

已知Pξ0

接下来，我们需要找到P0

由于正态分布的全概率为1，我们可以将整个实数轴分为三个区间：?∞,0，0

这三个区间的概率之和为1，即：

Pξ0+P0

0.2+P

P0ξ

4、若随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，且P(ξ4)=0.9，则P(0ξ2)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

首先，随机变量ξ服从正态分布N2,σ

已知Pξ4

同样地，由于正态分布的对称性，区间0,2和区间2,

设P0ξ

由于整个正态分布曲线下的面积为1（即概率为1），并且Pξ2+P2ξ4+Pξ≥4=1，

我们可以得到：Pξ2

故答案为：B.0.2

5、设随机变量X服从正态分布N(2,σ^2)，若P(Xc)=0.3，则P(cX4-c)=_______．

答案：0.4

解析：

由于随机变量X服从正态分布N2,σ

根据正态分布的对称性，我们有：

已知PX

P

接下来，我们要求Pc

由于PXc

0.3

从上式中解出Pc

P

故答案为：0.4。

6、设随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，若P(ξc+1)=P(ξ2c-1)，则c=()

A.1B.4/3C.2/3D.0

首先，随机变量ξ服从正态分布N1,4，其均值μ=1

正态分布曲线是关于其均值μ=

根据题目条件，有Pξ

由于正态分布曲线的对称性，这两个概率相等意味着c+1和2c

即，均值μ=1是c+

因此，有：

c+1

3c=2c=

7、设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，若P(ξ4)=0.028，则P(0ξ4)=_______．

本题主要考察正态分布的对称性。

由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ

正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=

已知Pξ4

接下来，我们要求P0

由于正态分布的全概率为1，我们可以将P0

P0ξ4=1?

同理，Pξ

代入上面的表达式，我们得到：

P0ξ

8、若函数fx=x3?3

A.?∞,1B.(?∞,1]

f

由题意，函数fx在区间?∞,

即：f

在区间?∞

为了确定a的取值范围，我们考虑f′x的判别式

Δ

由于f′x在?∞

因此，判别式Δ必须小于或等于0。

36

解得：a

故答案为：C.[

9、已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ^2)，且P(ξ0)=0.2，则P(0ξ≤2)=_______．

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.8

答案：C

解析：

已知随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，其中均值

正态分布曲线是关于其均值μ对称的，即关于x=

根据题目条件，有Pξ

由于正态分布的对称性，我们可以得到Pξ

整个正态分布曲线下的面积为1，即Pξ

因此，我们需要求的是P0ξ≤2

即P0

由于Pξ≤0

故答案为：C.0.6。

10、设函数f(x)=|x-1|+|x-3|，则下列结论正确的是()

A.f(x)在(1,3)上单调递减

B.f(x)的最小值为2

C.f(x)的