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专题4阿基米德三角形

专题3阿基米德三角形微点1阿基米德三角形

【微点综述】

在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形

——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称

为阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦

了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形

结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推

理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。

一、预备知识——抛物线上一点的切线方程

1y2=2px(p0)M(x,y)yy=p(x+x)

（）过抛物线上一点00的切线方程为：00；

2y2=−2px(p0)M(x,y)yy=−p(x+x)

（）过抛物线上一点00的切线方程为：00；

2

3x2py(p=0)M(x,y)xx=p(y+y)

（）过抛物线上一点00的切线方程为：00；

4x2=−2py(p0)M(x,y)xx=−p(y+y)

（）过抛物线上一点00的切线方程为：00．

下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。

1x2=2py(p0)M(x,y)y−y=k(x−x)

证法：设抛物线上一点00的切线方程为：00，代入

x22py，整理得x2−2pkx−2py0+2pkx00，

=0222

4pk+42py−2pkx0,=pk−2xk+2y0,

由x，得(00)00抛物线上一点处的切线唯

x

kpk2−2xk+2y=0k=0,

一，关于的一元二次方程00有两个相等的实数根，所求的

p

x

022

y−y(x=−x)xxx=+py−pyx=2py

切线方程为00，即000，又0