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第七章实践问题

本篇主要介绍数学建模实际问题，通过这些问题的实践，提高学生的数学建模水平。

第一节基础问题

1.广告的效用：某公司生产一种耐用消费品，产品一上市，该公司即开始做广告，一段

时期的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时

还没有购买的百分比成正比，且估计得到此比例系数为0.5。

（1）试模拟求解该问题，即购买人口的百分比与（做广告）时间的关系；

（2）建立该问题的数学模型，并求其数值解与模拟结果作以比较；

（3）厂家问：要做多少次广告（设上述单位时间指广告次数），可使市场购买率达到80%？

2.要用40块方形瓷砖铺设如图16-17所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块

大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完

整铺好.问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图16-17所示的地面的可能性是否存在?

只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.

3．美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶

里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底

时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此

工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能

发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知

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圆桶重量为239.46kg，体积为0.2058m，海水密度为1035.71kg/m。如果圆桶速度小

于12.2m/s，就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。

假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。

4．根据某气田1957~1976年共20个年度的产气量数据（见下表），建立该气田的产量预

测模型，并将预测值与实际值进行比较。

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年份1957195819591960196119621963

产量1943598292113138

83

10m

年份1964196519661967196819691970

产量148151157158155137109

83

10m

年份197119721973197419751976

产量897970605345

83

10m

5．试在区间[150，190]上产生10000个服从正态分布N（170，400/9）的随机整数，统

计其频数，画出直方图，并与男大学生身高问题中的结果对照。

6．在及时接车问题中，若甲到站只等2min，不见乙即自行离开，则乙能接到甲的概率是

多少？

7．在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。

假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么随机找n个人（不超过365

人），求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两人生日相同这

一随机事件发生的概率是多少？

8．某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验，得到了氮（N）、磷（P）肥的施

肥与土豆产量的对应数据如下表，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。

N施肥量（kg/ha）土豆产量（t/ha）P施肥量（kg/ha）土豆