八年级下册数学-菱形.doc

第12讲菱形

【板块一】菱形的性质与判定

题型一、菱形的判定

方法技巧

判定四边形为菱形时，对于容易判断为平行四边形的，另外看邻边是否相等或对角线是否垂直；还可以从四条边相等去判定。

【例1】如图，Rt△ACB中，∠ACB=900，CDAB，垂足为点D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，FG∥BC，交AB于点G，连接EG，求证：四边形CFGE是菱形。

【例2】如图，将矩形纸片ABCD沿FG折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕的一端点G在边BC上，另一端点F在AD上，AB=8，BG=10。

（1）求证：四边形BGEF为菱形；

（2）求FG的长。

针对练习1

1．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3．

（1）求AD的长；

（2）求四边形AEDF的周长．

2．如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE和等边△BCF，连接DF，EF．

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）当∠BAC＝时，四边形DAEF是矩形；

（3）当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形．

3．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别AB，AC是的中点．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线和为7，求四边形AEDF的面积S．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针旋转得到的，连接BE，CF，相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

【板块二】菱形中的全等三角形构造

题型二菱形中全等三角形构造——旋转

方法技巧

有一内角为60°的菱形，较短的对角线将菱形分为两个全等的等边三角形，形成5条边相等，6个60°的角，易于构造旋转式的全等三角形．

【例1】已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F分别为射线BC和CD上的一点，∠EAF＝60°．

（1）如图1，若点E，F分别为边BC和CD的中点，直接写出BE，DF，AB之间的数量关系；

（2）如图2，若点E，F分别为边BC和CD上任一点，探究BE，DF，AB之间的数量关系；

（3）如图3，若点E，F分别在BC和CD的延长线上，探究BE，DF，AB之间的数量关系．

图1图2图3

题型三菱形中全等三角形同型构造

方法技巧

菱形中相等的边较多，当两个三角形中有一对边一对角相等时，可以以此为条件，再构造一对边或一对角相等，形成全等三角形．

【例2】已知菱形ABCD中，对角线交于点O．

（1）如图1，点F在边BC上，AF交BD于E，若BE＝BF，求证：CF＝2OE；

（2）如图2，点P在边AC上，已知AC＝16，CP＝CD＝10，求DP的长；

（3）如图3，点Q在菱形外部，点P在AC上，CP＝CD，点M为DP中点，DQ＝DM，∠QDA＝∠CDP．连接QM，射线QM交AC于点N，交DA于点H．求证：CN＝AH．

图1图2图3

题型四菱形动点最值问题

【例3】已知菱形ABCD中的两条对角线分别为6和8，M，N分别为边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM＋PN的最小值．

题型五菱形综合探究

【例4】已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线交于点O，点A关于CD的对称点为A’，连接OA’．

（1）如图1，求OA’的长；

（2）如图2，OA’的中点为F，连接CF，求证：CF∥BD；

（3）如图3，若点D关于OA’的对称点为D’，则BD’的长为．

图1图2图3

针对练习2

1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．

（1）若CE＝1，求BC的长；