理科数学学霸笔记12-导数的应用.pdfVIP

考点12导数的应用

一、导数与函数的单调性

一般地，在某个区间(a,b)内：

（1）如果f′(x)0，函数f(x)在这个区间内单调递增;

（2）如果f′(x)0，函数f(x)在这个区间内单调递减;

（3）如果f′(x)＝0，函数f(x)在这个区间内是常数函

数．

注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定

义域内讨论导数的符号；

（2）在某个区间内，f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此

区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.

（3）函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是

f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立，且f′(x)在(a,b)

的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别

点处有f′(x)＝0,不影响函数f(x)在区间内的单调性.

二、利用导数研究函数的极值和最值

1．函数的极值

一般地，对于函数yf(x)，

（1）若在点xa处有f′(a)0，且在点xa附近的左侧f′

(x)0，右侧f′(x)0，则称xa为f(x)的极小值点，f(a)叫

做函数f(x)的极小值.

（2）若在点xb处有f′(b)0，且在点xb附近的左侧f′

(x)0，右侧f′(x)0，则称xb为f(x)的极大值点，f(b)叫

做函数f(x)的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值

通称极值.

2．函数的最值

函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图

象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结

论：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一

条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在

[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求f(x)在(a，b)内的极值；

（2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比

较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3．函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函

数的定义区间[a，b]的整体而言；

（2）在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有

多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没

有）；

（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可

以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大

(小)值点或区间端点处取得.

三、重点考向

利用导数研究函数的单调性

1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调

性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)0（f′(x)0）

在给定区间上恒成立．一般步骤为：

（1）求f′(x)；

（2）确认f′(x)在(a,