2023—2024学年北师大版数学八年级下册经典例题.docx

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北师大版八年级数学（下）经典例题

第一章三角形的证明

在几何知识中，我们以“”这个框架来对这些知识进行处理。

第一节：等腰三角形

1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

2.判定：（1）根据定义判定

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形

3.性质：（1）腰相等

（2）底角相等

（3）“三线合一”

4.应用：（1）等腰三角形与“手拉手”全等

（2）坐标系中等腰三角形存在性问题

【例题1】等腰三角形的两边长分别是3和7，求等腰三角形的周长；

[参考解析]：根据等腰三角形的性质，另一条边可能为3，此时三边分别是3，3，7，但，此时与“三角形的两边之和大于第三边”矛盾，因此另外一条边不能是3；我们来看看另外一条边为7的情况：7，7，3，验证：，因此该等腰三角形的周长为17.

【例题2】等腰三角形的一个角等于50°，求这个三角形的顶角度数；

[参考解析]：若这个角就是等腰三角形的顶角，那么它顶角的度数就是50°；若这个角是底角，那么另一底角也是50°，根据三角形内角和定理，顶角度数为180°-50°-50°=80°。所以，这个等腰三角形的顶角为50°或80°。

【例题3】已知等腰三角形，，求这个等腰三角形的面积。

[参考解析]：我们已经知道底，需要求出高，因此我们要作辅助线。我们作等腰三角形底边上的高，根据“三线合一”,根据勾股定理可以求出,所以，这个等腰三角形的面积是.当遇到等腰三角形，可以考虑作高线，中线或顶角平分线。

【例题4】在中，，求的度数；

[参考解析]：设，因为，所以，根据外角的性质：,因为，所以，因为，所以,根据三角形内角定理，，解得：

【例题5】在中，，是直线上的一点，其中，回答下列问题：

（1）如图1，若点在线段上，求证：

（2）如图2，若点在延长线上，求的数量关系。

图1图2

[参考解析]：（1）如图3，连接，根据面积法，可以知道,然后分别写出这三个三角形的面积，并建立方程：，因为，代入得：，两边进行同时除以得到：；

（2）如图4，连接，根据面积法，可以知道,然后分别写出这三个三角形的面积，并建立方程：，因为，代入得：，两边进行同时除以得到：.

图3图4

【例题6】在，中，。

求证：

延长交于点，求证：

图1图2

[参考解析]：（1）因为已经有了，我们只需要证明夹角，就可以证明这两个三角形全等了。

因为，

所以，两边同时减去：。再结合，此时。

（2）因为，则对应角相等：，在这两个三角形中，因为根据三角形内角和定理，，从而。

【例题7】已知直线AB的表达式为，与轴相交于点，与轴相交于点，若坐标轴上存在一点，使得△是等腰三角形，求点坐标。

[参考解析]（1）准备工作：求出，坐标和线段的长度。

解：∵，∴，∵，,∴

根据勾股定理，

（2）若示意图如下,画：

解：取AB中点，则的坐标为，设直线为，

因为与垂直，所以，，，

又因为过，所以：，解得，所以。

因为是与轴交点，所以令，解得，所以

因为是与轴交点，当，解得，所以

（3）若画示意图如下：

因为，，所以；

因为,,根据勾股定理可以求得,所以；

（4）若画示意图如下：

因为，，所以；

因为,,根据勾股定理可以求得,所以.

综上所述，点的坐标为:

第二节：等边三角形

1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形

2.判定：（1）根据定义判定

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形

3.性质：（1）三边相等

（2）三个角相等

（3）30°所对的直角边等于斜边一半

4.应用：“手拉手全等”解决坐标系中等边三角形存在性问题

【例题1】等边三角形的边长是2，求该等边三角形的面积；

[参考解析]：作，得到根据勾股定理得到：，所以.

【例题2】如图，等边三角形，，求证：。

[参考解析]：取，因为，所以是等边三角形，所以，因为，所以，因为，所以，，所以.

【例题3】如图，在直角三角形中，，点在线段上运动，以为边作如图所示的等边三角形，连接，求线段的最小值。