同济大学线性代数课件-第一章y.ppt

第一章行列式§1二阶与三阶行列式§2全排列与逆序数§3n阶行列式的定义§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7Cramer法则(3)一般情形,考虑第i行例或者那么推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上，得公式例12:证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证明：用数学归纳法(1)当n=2时,(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立,则=有个因子!例：例：设求解:例：D按第4列展开，然后各列的提出公因子=例：D例：DCramer法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，(4)副对角行列式行列式的等价定义称DT为D的转置行列式。设则D经过“行列互换”变为DT性质1：行列式与它的转置行列式相等。证明：设则由行列式定义性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。互换s、t两行：互换s、t两列：“运算性质”推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为0。性质3：用非零数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。“运算性质”用k乘第i行：用k乘第i列：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。用数k乘第t行加到第s行上：用数k乘第t列加到第s列上：“运算性质”利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）例1：计算例2：计算“行等和”行列式例10：设证明：0证明：利用行的运算性质r把化成下三角形，再利用列的运算性质c把化成下三角形，对D的前k行作运算r，后n列作运算c,则有例问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验证：定义1：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫的余子式,记为称为(i,j)元素的代数余子式。做(i,j)元素,同时例如：考虑(2,3)元素(2,3)元素的余子式(2,3)元素的代数余子式定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。(1)利用上一节例10的结论有(2)设D的第i行除了把D转化为(1)的情形外都是0。先把D的第i行依次与第i–1行,第i–2行,···,第1行交换,经过i–1次行交换后得再把第j列依次与第j–1列,第j–2列,···,第1列交换,经过j–1次列交换后得********1.二阶行列式二元线性方程组当时，方程组有唯一解用消元法得记则有于是二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。行标列标(1,2)元素对角线法则:主对角线副对角线例.解方程组解：2.三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组为三阶行列式,记作称对角线法则：例：定义1：把n个不同的元素排成的一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列。把n个不同的元素排成一列,共有Pn个排列。P3=3×2×1=6例如：1,2,3的全排列123，231，312，132，213，321共有3×2×1=6种，即一般地，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!P3=3×2×1=6标准次序：标号由小到大的排列。定义2：在n个元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。一个排列的逆序数的计算方法：设p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，