自主招生及保送生考试数学试题.doc

2008年北京大学数学试题

1．求证边长为1的正五边形对角线长为．

2．六边形中，，，，，求证：三角形面积是六边形面积的一半．

3．已知，，若已知，求证：．

4．南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队．

5．（只理科生做）在空间坐标系中，是由平面图形绕轴旋转后所得的不透光的立体图形．现在（1，0，1）处有一点光源．圆是以原点为圆心的位于平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为，求圆上阴影部分长度．

2008年清华大学考题

1.求的单调区间及极值.

2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.

3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.

A0.90

A0.90

B0.95

C0.95

D0.94

E0.94

求：（1）能听到立体声效果的概率；

（2）听不到声音的概率.

4.(1)求三直线，，所围成三角形上的整点个数；

(2)求方程组的整数解个数.

5.已知，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.

(1)求证B、C关于直线对称；

(2)求△ABC的周长.

6.对于集合，称M为开集，当且仅当，，使得

.判断集合与是否为开集，并证明你的结论.

2006届清华大学自主招生数学试题

1．求最小正整数，使得为纯虚数，并求出．

2．已知为非负数，，求的最值．

3．已知为等差数列，为等比数列，求的值．

4．求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积．

5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．

6．上一点(非原点)，在P处引切线交轴于，求．

7．已知满足：对实数有，且，求证恒为零．

(可用以下结论：若，为一常数，那么)

8．在所有定周长的空间四边形中，求对角线和的最大值，并证明．

2007年北大自主招生考试题

1、求

2、对任何实数k，恒过两个定点.

3、解方程组：

4、长方体中a,b,c为棱长，.求沿长方体表面从P到Q的最小距离.（其中P、Q是长方体对角线两个端点）

2009年清华自主考试

设的整数部分为，小数部分为

求（2）求（3）求

2．（1）设，求证：对

（2）设，求证：，其中的一种排列。

3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。

4．已知椭圆，过其左顶点A的直线与椭圆交于Q，与轴交于R，过原点与平行的直线与椭圆交于P

求证：AQ，成等比数列。

5．已知，求

6．随机挑选一个三位数I

（1）求I含有因式5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率

7．四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC

（1）求证：四面体每个面的三角形都是锐角三角形；

（2）设三个面与底面BCD所成的角分别是，证明：

8．证明当都是奇数时，曲线轴的交点的横坐标为无理数

9．设均为整数，性质P：对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等

求证：全部相等当且仅当具有性质P

2008年北京大学自主招生数学试题答案

1?求证：边长为1的正五边形对角线长为

略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：

2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，

??求证：△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。

略解：如图得证

3?已知

4?排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支?南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）

解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支

所有球队总得分为

南方球队总得分为

北方球队总得分为，南方球队内部比赛总得分

北方球队内部比赛总得分，

解得：，因为为整数

x=6或x=8，当x=6时

所有球队总得分为=210

南方球队总得分为=189

北方球队总得分为=21，南方球队内部比赛总得分=105

北方球队内部比赛总得分=15，北方胜南方得分=21-15=6

北方球队最高得分=5+6=11，因为11×15=165189

所以南方球队中至少有一支得分超过11分．冠军在南方球队中

当x=8时

所有球队总得分为=300

南方球队总得分为=270

北方球队总得分为=30，南方球队内部比赛总得分=136

北方球队内部比赛总得分=28，北方胜南方得分=30-28=2

北方球队最高得分=7+2=9，因为9×17=153270

所以南方球队中至少有一支得分超过9分，冠军在南方球队中

综