椭圆的简单几何性质（第1课时）(30张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

第三章圆锥曲线的方程

3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时);

学习目标

1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质.

2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养.

3.根据几何条件求出椭圆的方程.

4.掌握椭圆标准方程中的a,b以及c,e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系。;

01导入;

焦点位置;

与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标

准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.;

02椭圆的简单的几何性质

PART0NE;

范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

y个

B?

A

FoF

B?;

程(代数法)确定出它的具体边界吗?

由方程

即-a≤x≤a.

同理有-b≤y≤b.

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框里。;

如何利用方程说明椭圆的对称性?

把(x)换成(-x),方程不变，说明椭圆关于

(y)轴对称；

把(y)换成(-y),方程不变，说明椭圆关于(x

)轴对称；

把(x)换成(-x),(v)换成(-y),方程还是不

变，说明椭圆关于(原点)对称；;

椭圆与坐标轴有四个交点，这四个点比较特殊.

在椭圆方程(ab0)中，令x=0,得y=±b,

说明椭圆与y轴有两个交点，坐标分别为

令y=0,得x=±a,说明椭圆与x轴有两个交点，坐标分别为A?(-a,0),A?(a,0).

所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.

所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.

线段A?A?,B?B?分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.;

如右图示，椭圆0的长半轴长为a,半

焦距为c.利用信息技术发现，保持长半轴长a不变，改变椭圆

的半焦距c,可以发现，c越接近a,椭圆越扁平.类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c,椭圆越扁平；而当a,c扩大或

缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.这样，利用c和a这两个量，

可以刻画椭圆的扁平程度.;

椭圆的简单几何性质

我们]把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离??率，用e表示，即

说明：

(1)离心率的取值范围：因为ac0,所以0e1.

(2)离心率对椭圆形状的影响：

①e越接近1,c就越接近a,从而b就越小，椭圆就越扁；

②e越接近0,c就越接近0,从而b就越大，椭圆就越圆；③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁。

④特例：e=0,则a=b,则c=0,两个焦点重合，椭圆变成圆.;

焦点的位置;

03性质应用

PART0N;

于是a=5,b=4,c=√25-16=3.

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10,和2b=8,离心率

两个焦点坐标分别是F?(-3,0)和F?(3,0),

四个顶点坐标分别是A?(-5,0),A?(5,0),B?(0,-4),B?(0,4).;

椭圆的简单几何性质

练习：已知椭圆C:设椭圆C?与椭圆C?的长轴长、

短轴长分别相等，且椭圆C?的焦点在y轴上.

(1)求椭圆C的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C?的方程，并研究其性质.

解：(1)由椭圆C?:得其长半轴长为10,短半

轴长为8,焦点坐标(6,0),(一6,0),离心率;

(2)椭圆C?:

性质：①范围：—8≤x≤8,—10≤y≤10;

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0,10),(0,—10),短轴端点(一8,0),(8,0);

④离心率：;

例2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。

(1)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6;

(2)与椭l有相同的焦点，且离心率

(3)以直线3x+4y—12=0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点.;

解：(1)依题意有∴b=c=6,∴a2=b2+c2=72.

∴所求的椭圆方程为

(2)∵c=√9-4=√5,

∴所求椭圆的焦点为(-√5,0),(√5,0).

设所求椭圆的方程

,c=√5,