温州中学2012年自主招生数学模拟试题答案.doc

2012年温州中学自主招生模拟试题答案

一，选择题（每题5分，共30分）

1.二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为（D）

2.设，求的值为(C)

（A）（B）（C）（D）

3.如果二次方程N*)的正根小于3,那么这样的二次方程有(C)

A.5个B.6个C.7个D.8个

4.关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（C）.

（A）2（B）1（C）0（D）

5.若函数的最大值为，最小值为，则等于（B）

（B）（C）（D）

6.若为完全平方数，则正整数n满足（B）

A．B．C．D．

二．填空题（每题5分，共40分）

7.已知函数则等于

最小值是___0.5____________．

8.设命题P:和命题Q:对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是。

9.设,那么的最小值是4

10.已知O为两同心圆的圆心，且大圆半径为5，小圆半径为2，过小圆上任意一点P作弦PA与过P点的大圆之弦BC垂直，则为158

11.若数列中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则

项数的最大值为5.

12.已知△ABC的内切圆半径为2，且tanA=，

则△ABC面积的最小值为18+8.

13.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产125

套

组

A

B

C

D

上衣(件)

8

9

7

6

裤子(条)

10

12

11

7

14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角度数x的取值范围为30x45或22.5x30.

三．解答题（第15，16，17题各10分，第18，19题各15分）

15.甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p，q，r，使pqr，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数。经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问p，q，r分别是哪三个正整数？为什么？

解：设经过n轮分配（n为正整数）．

根据丙的情况，有18－np＝9，np＝9．n的值只有1，3，9三种情况．

当n＝1时，只分了一轮，显然甲、乙、丙三人根据以上这种分法，必有一人分得的糖块数为0，与题设不符．

当n＝9时，总的糖块数为20＋10＋9＝39，每轮分的糖块数一样多，而9不整除39，不对．

所以，n＝3，并且得p＝3．而每一轮分得的糖块数为13块．于是，r－p＋q－p＝13，r＋q＝19．

因为r＞q，则有r≥10，q≤9．同时还知道某个人若三次抽到的纸片上写的数各是r、q、p三个正整数，其糖块数应为13块，而乙最后一次纸片上写的数是r，结果糖块数10块，所以乙抽到纸片上写的数是一次r，二次p．所以r－p＝10，r＝13，q＝19－13＝6．

综上所述，r、p、q分别是13、6、3这三个正整数

16.设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝（k2＋k＋1）x2－2（a＋k）2x＋（k2＋3ak＋b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．

①求a、b的值；

②若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值．

解：⑴由已知条件，点A（1，0）在函数图象上，

故（k2＋k＋1）－2（a＋k）2＋（k2＋3ak＋b）＝0

整理得：（1－a）k＋（b＋1－2a2）＝0

∵对k∈，上式恒成立

∴1－a＝0且b＋1－2a2＝0

从而a＝1，b＝1

y＝（k2＋k＋1）x2－2（k＋1）2x＋（k2＋3k＋1）

⑵设B（，0），则|AB|＝|－1|

∵（k2＋k＋1）x2－2（k＋1）2x＋（k2＋3k＋1）＝0

的两个根为1、，由韦达定理

1?＝

整理得：

＝1时，得2k＝0?k＝0

≠1时，∵k∈，∴

即

得：且

综合得：

∴

∴|AB|＝|－1|∈[0，2]

即|AB|的最大值为2．

17.设D是△ABC内的一点，满