(瞒天过海法)导数思想在圆锥曲线中的应用精选全文.docx

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导数思想应用：处理圆锥曲线的“一动二定斜率定值”难题

今天和大家分享的是解析几何“一定二动斜率定值”问题的解决策略：

我们在平时的考试中或者练习中会遇到类似于下面的题设条件的题目：

我们通过以上的描述，将我们的数学模型抽象出来，如下：

模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点A与曲线上的两动点E，F满足直线AE与直线AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为定值．

天下不可能有这么巧的事情，经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，在这里，我们首先通过用初等方法给这类题目进行解释，并利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，探究快速解题的方法.

我们以抛物线作为一个简单的例子引入我们今天的话题，希望大家能够在这个基础上进行深入的理解。

如图，已知E,F是抛物线??上的两个动点，A(1,1)是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

循规蹈矩——初等解法：

解题大法——导数解法：

规律总结——倾角互补，连线定角：

实际上，这一类问题很早就引起了大家的关注，这里引用闻杰老师所做的工作。

过椭圆上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值.

过双曲线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值

过抛物线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值

问题探究

结论证明

这里以椭圆为例，给出证明：结论如下：

由抛及椭

对于抛物线而言，导数比较容易求出，对于椭圆而言，要用到隐函数求导。我们重新看一下文章开始提出来的问题，这个例子就是将这种方法运用到椭圆中。

循规蹈矩——初等解法：

第一步：能够很好根据对称性设出直线方程，这里利用对称性可知两条直线的斜率互为相反数。

因为直线AE与AF关于直线x=1对称，所以直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.

解题大法——导数解法：

另辟蹊径——换元计算：

本题中可以用换元法简化计算，可以设??，得?

我们还可以在这个基础上对题目进行改编：

我们再来看两个相应的练习题目：

第1题：

并求出这个定值.

解题大法——导数解法：

第2题：

如图，已知E,F是抛物线?y2=x?上的两个动点，A（1,1）是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

解题大法——导数解法：

解题规律总结：

1、注意利用导数法探求定值，作为选择题或者填空题时要利用导数法，作为解答题时注意利用导数法进行检验；

2、题目条件的变化：“直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数”，等价于“直线AE与AF的倾斜角互补”，或者“直线AE与AF关于直线??对称”，或者“直线AE与AF关于直线?对称”.

3、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的一个解为??消元后所得方程有一个根为??或??，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根.

4、注意以-k替换k由E点坐标直接求得F点坐标.

5、对于直线与椭圆或者双曲线，??的进一步化简要利用直线方程，对于直线与抛物线，?的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程更加简单.

把握住以上几点，给大家两道练习题目，希望大家更能准确快速的解答一下练习题：

总之，在这一学年中，我不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。在今后的工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点