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二次根式的计算

一、【知识点梳理】

〔一〕二次根式的定义和概念：

1、定义：一般地，形如〔a≥0〕的代数式叫做二次根式。当a≥0时，表示a的算术平方根当a小于0时，非二次根式〔在一元二次方程中，假设根号下为负数，那么无实数根〕

2、概念：式子〔a≥0〕叫二次根式。〔a≥0〕是一个非负数。

〔二〕二次根式√ā的简单性质和几何意义

1〕a≥0;≥0[双重非负性]

2〕()2＝a〔a≥0〕[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]

〔三〕二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a〔a≥0〕、√x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a2、√〔x+y〕2、√x2+2xy+y2等

〔3〕最终结果分母不含根号。

〔四〕二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质

=·〔a≥0，b≥0〕

2.乘法法那么

·＝〔a≥0，b≥0〕

二次根式的乘法运算法那么，用语言表达为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法那么

=〔a≥0，b0〕

二次根式的除法运算法那么，用语言表达为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

〔五〕二次根式的加法和减法

1同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

〔六〕二次根式的混合运算

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

二、【典型例题】

例1．〔1〕当m__________时，eq\r(,5－3m)是二次根式.

(2)当x__________时，eq\f(1,\r(,x－7))有意义；eq\f(1,3－\r(,x＋1))有意义的条件是__________.

(3)以下二次根式中与是同类二次根式的是〔〕．

A．B．C．D．

(4)实数a在数轴上的位置如下图，那么化简后为()

A．7B．－7C．2a－15D．无

例2．把以下各式化成最简二次根式．

〔1〕eq\f(\r(,20),5)；〔2〕eq\f(1,4)eq\r(,32a3b4)；〔3〕eq\r(,a4＋a2b2)；

〔4〕eq\r(,\f(z2,54x2y))；〔5〕2abeq\r(,a2b)·3eq\r(,\f(a,b))÷eq\f(1,2)eq\r(,\f(1,a))

例3．

例4．设a、b、c表示△ABC的三边长，化简：

eq\r(,(a＋b＋c)2)＋eq\r(,(a－b－c)2)＋eq\r(,(b－a－c)2)＋eq\r(,(c－b－a)2)

例5．为有理数，分别表示的整数局部和小数局部，且，那么。

例6．x、y为实数，且y＝eq\r(,x－\f(1,2))＋eq\r(,\f(1,2)－x)＋eq\f(1,2)，求5x＋︱2y－1︱－eq\r(,y2－2y＋1)的值.

三、【随堂检测】

A组

1.是正整数，那么实数n的最大值为〔〕

A．12B．11C

2.计算的结果是〔〕

A． B． C． D．

3.假设，那么x－y的值为〔〕

A．－1B．1C．2D．3

4.以下计算正确的选项是〔〕

A． B． C． D．

5.估算的值( )

A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间

10a6.实数在数轴上的位置如下图，那么化简的结果为________

1

0

a

7.假设与互为相反数，那么。

8.计算

〔1〕〔2〕

9.的值

10.，求的值。

B组

1.假设，那么的值为〔〕

A．1