微专题26　圆锥曲线中的定点、定值问题公开课教案教学设计课件资料.docxVIP

微专题26圆锥曲线中的定点、定值问题

【考情分析】定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.

考点一圆锥曲线中的定点问题

考向1定点问题

【例1】已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为－22，直线l交C于P，Q两点，点M（2a

（1）若直线l过C的右焦点，且斜率为－1，求△PMQ的面积；

（2）设P，Q为双曲线C上异于点M（2a，b）的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝2k1k2，求证：直线PQ过定点.

解：（1）如图，因为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞

所以2a＝22，即a＝2.

又因为C的一条渐近线斜率为－22

所以－ba＝－22，所以b＝1，故双曲线C：x22

则其右焦点坐标为（3，0），

因为直线l过C的右焦点，且斜率为－1，

所以直线l的方程为y＝－x＋3，设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立y＝－x＋3，x22

所以由根与系数的关系得x1＋x2＝43，x1x2＝8.

所以｜PQ｜＝（1+k2)[(x

点M（2，1）到直线l的距离为d＝3－

所以S△PMQ＝12｜PQ｜d＝12×42×3－32

（2）证明：如图，设直线PQ的方程为x＝my＋n，设P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立x＝my＋n，x22－y2=1，得（m

Δ＝4m2n2－4（m2－2）（n2－2）＝8（m2＋n2－2）＞0，即m2＋n2＞2.

所以y1＋y2＝－2mnm2－2，y

而M（2，1），则k1＝y1－1x1－

因为k1＋k2＝2k1k2，所以y1－1x1－2

即（y1－1)(x2

所以（y1－1）（x2－2）＋（y2－1）（x1－2）＝2（y1－1）（y2－1），

所以y1x2＋y2x1－x2－x1＋2＝2y1y2，

所以y1（my2＋n）＋y2（my1＋n）－（my2＋n）－（my1＋n）＋2＝2y1y2，

整理得（2m－2）y1y2＋（n－m）（y1＋y2）－2n＋2＝0，

所以（2m－2)(n

所以（2m－2）（n2－2）－2mn（n－m）＋（－2n＋2）（m2－2）＝0，

整理得m2－n2－2m＋2n＝0，

即（m－n）（m＋n－2）＝0，则m＝n或m＝2－n.

当m＝n时，直线PQ的方程为x＝ny＋n＝n（y＋1），所以过定点（0，－1）；

当m＝2－n时，直线PQ的方程为x＝（2－n）y＋n＝n（1－y）＋2y，所以过定点（2，1），即为M（2，1），因为P，Q为双曲线C上异于点M（2，1）的两动点，所以不符合题意.

故直线PQ过定点（0，－1）.

规律方法动线过定点问题的两大类型及解法

（1）动直线l过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在）为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k（x＋m），故动直线过定点（－m，0）；

（2）动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.

考向2定线问题

【例2】（2023·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

解：（1）设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0

由题意可得e＝c

所以双曲线C的方程为x24－

（2）证明：法一设直线MN的方程为x＝my－4，M（x1，y1），N（x2，y2）.

易知A1（－2，0），A2（2，0）.

联立直线MN与双曲线C的方程，得x

消去x并整理，得（4m2－1）y2－32my＋48＝0，

则y1＋y2＝32m4m2－1，y1y2＝484m2－1，且4m2－1≠0，Δ＝（－32m）2－4×48×（4

直线MA1的方程为y＝y1x1+2（x＋2），直线NA2的方程为y＝y2x

联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得x+2x－2＝y

＝－16m4m

所以x＝－1，即点P在定直线x＝－1上.

法二由题意得A1（－2，0），A2（2，0）.

设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my－4，

则x124－y1216＝1，

如图，连接MA2，

kMA1·kMA2＝y1x1

由x24－y216＝1，得4x2－y2＝16，4[（x－2）＋2]2－

4（x－2）2＋16（x－2）＋16－y2＝16，4（x－2）2＋16（x－2）－y2＝0.

由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－（x－2）＝6，16[my－（x－2）]

4（