分离变量法大三上电磁场.pdfVIP

3.6分离变量法

◆理论基础

唯一性定理:在场域V的边界面S上给定或/n的值，则泊松方

程或拉斯方程在场域V内有唯一解。（p.130）

◆分离变量法的主要步骤

①根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐

标系下拉斯方程的表达式及给定的边界条件。

②经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微

分方程的通解，其中含有待定常数。

③利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足

边界条件的特解。

3.6.1直角坐标系中的分离变量法(二维)

22

+0(x,y)X(x)Y(y)

x2y2◆本征函数

2

1dX(x)2

=−k

X(x)dx2x

22

1dX(x)1dY(y)◆本征方程

+02

221dY(y)2

X(x)dxY(y)dy−k

Y(y)dy2y

◆本征方程的求解k2+k20

xy

(1)当kk0时◆本征值

xy

X(x)Ax+A

01020(x,y)(Ax+A)(By+B)

110201020

Y(y)By+B

01020

(2)当k20时，设kxkm(m1,2,,,))

x

由k2+k20kyjkm

xy

本征方程为：

2

dX(x)2