第20讲-曲线系及其应用(解析几何)(解析版).pdfVIP

第20讲曲线系及其应用

知识与方法

1.曲线系与曲线系方程的概念

曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示.

,,

曲线系方程:对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,

这样的方程叫曲线系方程.

2.过两曲线交点的曲线系

若两曲线:(,)=0和:(,)=0有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为

1122

(,)+(,)=0(,)=0(,)+(,)=0

12（不包括2）或者12.

3.一次曲线系（直线系)

具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程.

下面是几种常见的直线系方程:

(1)过已知点(,)的直线系方程−=(−)或=(为参数）;

00000

=+

(2)斜率为的直线系方程：（是参数）;

(3)与已知直线++=0平行的直线系方程:++=0为参数）;

（

(4)与已知直线++=0垂直的直线系方程:−+=0(为参数）;

(5)过直线:++=0与:++=0的交点的直线系方程:

11112222

+++(++)=0(为参数）（不包括直线）

1112222

4.二次曲线系

圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式.

二次曲线系的一般形式为:

22

+++++=0

两条直线所组成的二次曲线方程为:

()()

++++=0

111222

熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:

定理

给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们

,

可以进一步得到一些重要结论.为简单起见,以下将两直线的并体记作

12

⋅⋅(,)⋅(,)=