华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练课件合集共8套.ppt

证明如图,延长FE至D,使DE=EF,连结AD、BD,∵△BEF为

等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,BE⊥DF,∴BE垂

直平分DF,∴∠BDE=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,∴BD

=BF,∠DBF=90°,∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠

ABF=∠DBF=90°,∴∠CBF=∠ABD.在△ABD和△CBF中,∵

?∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∵M为AF的中点,DE=EF,∴ME是△ADF的中位线,∴ME=?AD,∴ME=?CF.?8.(2024四川成都武侯实验中学月考)△ABC中,D是BC的中点.分别以AB,AC为一边,向三角形内部作Rt△ABE,Rt△ACF,

使∠ABE=∠ACF,连结DE,DF,求证:DE=DF.?证明如图,延长BE到M,使ME=BE,延长CF到N,使NF=CF,连

结AM、MC、AN、NB,∵∠AFC=90°,∠AEB=90°,∴AE、AF

分别是BM、CN的垂直平分线,∴AM=AB,AN=AC,∵∠ABE=

∠ACF,∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF,∴∠CAF=∠NAF

=∠MAE=∠BAE,∴∠CAM=∠BAN=∠EAF,在△ACM和△

ANB中,?∴△ACM≌△ANB,∴MC=BN,∵D是BC的中点,ME=BE,NF=CF,∴DE、DF分别是△BCM和△BCN的中位线,∴DE=?MC,DF=?BN,∴DE=DF.?九年级上册华东师大版初中数学专项素养综合全练（八）解直角三角形中的五种思想方法方法一数形结合思想1.(2024河南南阳实验学校月考)在平面直角坐标系中,直线y

=3x与x轴的夹角为α,求α的正弦值和余弦值.解析如图,在直线y=3x上任取一点P(不与点O重合),过点P

作PA⊥x轴于点A.设点P的横坐标为a(a≠0),则点P的纵坐标

为3a,所以在Rt△PAO中,OA=|a|,AP=3|a|,由勾股定理得OP=

?=?|a|,∴sinα=?=?=?,cosα=?=?=?.?方法二方程思想2.(2024山西晋城实验中学月考)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,D、E分别在CA、CB上,点F在△ABC内.若四边形CDFE是

边长为1的正方形,求sin∠FBA的值.?解析如图,连结AF,过点F作FG⊥AB于G,∵四边形CDFE是

边长为1的正方形,∴CD=CE=DF=EF=1,∠C=∠ADF=90°,∵

AC=3,BC=4,∴AD=2,BE=3,AB=?=5,∴AF=?=?,BF=?=?,设BG=x,则AG=5-x,∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,∴5-(5-x)2=10-x2,解得x=3,∴FG=

?=1,∴sin∠FBA=?=?=?.3.(2023湖南娄底中考)几位同学在老师的指导下到某景区进

行户外实践活动,在登山途中发现该景区某两座山之间风景

优美,但路陡难行,为了便于建议景区管理处在这两山顶间建

观光索道,他们分别在两山顶上取A、B两点,并过点B架设一

水平线型轨道CD(如图所示),使得∠ABC=α,从点B出发沿CD

方向前进20米到达点E,即BE=20米,测得∠AEB=β,已知sinα=

?,tanβ=3,求A、B两点间的距离.解析如图,过点A作AF⊥CD于点F,∴∠AFB=90°,在Rt△

ABF中,sinα=?=?,∴设AF=24x米,AB=25x米,由勾股定理得BF=?=?=7x米,在Rt△AFE中,tanβ=?=3,∵BE=20米,∴?=3,解得x=20,∴AB=25x=500米,即A、B两点间的距离为500米.?方法三转化思想4.(2024吉林长春宽城二模)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”形道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km,BC段与AB、CD段都垂直,BC段长10km,CD段长30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).?解析如图,过B点作l1的垂线,分别交l1,CD,l2于点E,F,G.在Rt

△ABE中,∠EAB=30°,∴BE=AB·sin30°=20×?=10(km),∵BC段与AB、CD段都垂直,∴AB∥CD,∠C=∠ABC=90°,∵∠EAB=30°,∴∠ABE=60°,∴∠CBF=30°,∴∠FDG=30°.在Rt△BCF中,BF=?=10÷?=?(km),CF=BC·tan30°=10×?=?(km),∴DF=CD-CF=?km,在Rt△DFG中,FG=DF·sin30°=?×?=?km,∴EG=BE+BF+FG=(25+5?)km,故两高速公路间的距离为(