一道数学题的命题过程与反思.pdfVIP

一道数学题的命题过程与反思

摘要：研究高考题，我们通常会分析它的命题意图，然后寻找

课本中的原题。希望从课本例题的变式，探究，推广认识课本例习

题应该如何有效的教学。本文试图完整展现一道平面向量考题的命

制背景和意图、解析建议和反思。

关键词：数学命题；有效教学；反思

一、命题背景和意图

本题是苍南县2010届高三第一次模拟考试理科数学选择题中考

查平面向量的问题。为此，我参考了2009年各省市关于平面向量

的高考试题。在2009年浙江省理科数学高考卷中，与平面向量有

直接关系的题目有两个。

（7）设向量a，b满足︱a︱=3，︱b︱=4，=0.以a，b，a-b的

模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多

为（）

（a）3（b）4（c）5（d）6

（18）（本题满分14分）在中，角a、b、c所对应的边分别为a、

b、c，且满足=，.=3.

（ⅰ）求的面积；（ⅱ）若b+c=6，求a的值。

可见“平面向量”由于具有“数”与“形”的二重性，故而高考

考查空间更具广阔性，并且常常与其他知识点进行交汇考查.平面

向量的考查热点在两个方面：一是向量基本概念、基本运算；二是

向量的工具性，即运用向量知识解决平面几何、解析几何、三角函

数等的简单问题.一般来说，选择、填空题重在考查平面向量的概

念、数量积及其运算律，解答题重在考查平面向量的综合应用，并

且常与平面解析几何、三角函数、立体几何、数列等结合起来考查.

因此，对平面向量的复习应立足基础，强化运算，重视应用；同时，

强化数形结合思想.

因为要命制选择题，我又参考了近4年浙江省高考选择填空题中

考查平面向量的问题及其命题意图和解析。

1.（2006浙江13）设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，

a⊥b，若

|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是_________.

2.（2007浙江7）若非零向量a，b满足，则（c）

a.b.

c.d.

3.（2008浙江9）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若

向量满足，则的最大值是（c）

（a）1（b）2（c）（d）

4.（2009浙江卷文）已知向量，.若向量c满足，，则c=（）

a.b.c.d.

由这几个考题可见向量的模能够很好的考查向量的数量积、几何

意义和坐标运算。能引导学生从“数、量和运算”发展的角度理解

“向量”。联系课本必修4教材的例题和习题中发现，也有很多问

题与这些考题相关，如2.3.4平面向量共线的坐标表示，例8，习

题2.3b组第4题，习题2.4a组第3题，b组第2题，复习参考题

a组第5、13题，b组第2题，等等。

为此，我希望命制一个基础选择题，能够连结课本例习题和高考

题，同时可以一题多解。试图由一个问题就能辐射复习平面向量的

基本运算和几何意义，提高复习的有效性，也能体现教学和复习回

归课本的重要性。命制的问题如下：

7.已知平面向量与的夹角，且，若，则的取值范围是（）

a.b.c.d.

二、考题解析建议

一个问题的分析应当能够结合高考要求和教材要求，渗透本知识

点对学生发展的基础要求，同时培养学生基本的解题方法和能力技

巧。

分析一、

结合余弦函数的单调性，，，故。

利用是求向量的模的基本方法之一，结合三角函数使本题更具张

力。

分析二、可知，a、b、p三点共线，且点p是线段ab靠近点b的

三等分点。简图如右，由余弦定理并结合选择题的特性，可得。

分析三、如右简图建立平面直角坐标系，可知点a（3，0），点b

在圆弧上运动。

方案一、设点b（x，y），由得点p（），