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一、解答题
1.在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,现将线段先向上平移3个单位,再向右平移1个单位,得到线段,连接,.
(1)如图1,求点,的坐标及四边形的面积;
图1
(2)如图1,在轴上是否存在点,连接,,使?若存在这样的点,求出点的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)如图2,在直线上是否存在点,连接,使?若存在这样的点,直接写出点的坐标;若不存在,试说明理由.
图2
(4)在坐标平面内是否存在点,使?若存在这样的点,直接写出点的坐标的规律;若不存在,请说明理由.
解析:(1),,;(2)存在,或;(3)存在,或;(4)存在,的纵坐标总是4或.或者:点在平行于轴且与轴的距离等于4的两条直线上;或者:点在直线或直线上
【分析】
(1)根据点的平移规律,即可得到对应点坐标;
(2)由,可以得到,即可得到P点坐标;
(3)由,可以得到,结合点C坐标,就可以求得点Q坐标;
(4)由,可以AB边上的高的长度,从而得到点的坐标规律.
【详解】
(1)∵点,点
∴向上平移3个单位,再向右平移1个单位之后对应点坐标为,点
∴
∴
(2)存在,理由如下:
∵
即:=12
∴
∴或
(3)存在,理由如下:
∵
即:
∵
∴
∵
∴或
(4)存在:理由如下:
∵
∴
设中,AB边上的高为h
则:
∴
∴点在直线或直线上
【点睛】
本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律,由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点,根据相关内容解题是关键.
2.如图,点A(1,n),B(n,1),我们定义:将点A向下平移1个单位,再向右平移1个单位,同时点B向上平移1个单位,再向左平移1个单位称为一次操作,此时平移后的两点记为A1,B1,t次操作后两点记为At,Bt.
(1)直接写出A1,B1,At,Bt的坐标(用含n、t的式子表示);
(2)以下判断正确的是.
A.经过n次操作,点A,点B位置互换
B.经过(n﹣1)次操作,点A,点B位置互换
C.经过2n次操作,点A,点B位置互换
D.不管几次操作,点A,点B位置都不可能互换
(3)t为何值时,At,B两点位置距离最近?
解析:(1)A1(2,n﹣1),B1(n﹣1,2),At(1+t,n﹣t),Bt(n﹣t,1+t);(2)B;(3)t=或t=或t=
【分析】
(1)根据点在平面直角坐标系中的平移规律求解可得答案;
(2)由1+t=n时t=n﹣1,知n﹣t=n﹣(n﹣1)=1,据此可得答案;
(3)分n为奇数和偶数两种情况,得出对应的方程,解之可得n关于t的式子.
【详解】
解:(1)A1(2,n﹣1),B1(n﹣1,2),At(1+t,n﹣t),Bt(n﹣t,1+t);
(2)当1+t=n时,t=n﹣1.
此时n﹣t=n﹣(n﹣1)=1,
故选:B;
(3)当n为奇数时:1+t=n﹣t解得t=,
当n为偶数时:1+t=n﹣t+1解得t=,
或1+t=n﹣t﹣1解得t=.
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化—平移,解题的关键是掌握点在平面直角坐标系中的平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
3.在平面直角坐标系中,已知点,,连接,将向下平移6个单位得线段,其中点的对应点为点.
(1)填空:点的坐标为______,线段平移到扫过的面积为______.
(2)若点是轴上的动点,连接.
①如图,当点在轴正半轴时,线段与线段相交于点,用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系,并说明理由.
②当将四边形的面积分成1∶3两部分时,求点的坐标.
解析:(1);24;(2)①;见解析;②或
【分析】
(1)由平移的性质得出点C坐标,AC=6,再求出AB,即可得出结论;
(2)①过点作交于,分别用CE表示出两个三角形的面积,即可得到答案;②根据题意,可分为两种情况进行讨论分析:(i)当交线段于,且将四边形分成面积为两部分时;当交于点,将四边形分成面积为两部分时;分别求出点P的坐标即可.
【详解】
解:(1)∵点A(3,5),将AB向下平移6个单位得线段CD,
∴C(3,56),
即:C(3,1),
由平移得,AC=6,四边形ABDC是矩形,
∵A(3,5),B(7,5),
∴AB=73=4,
∴CD=4,
∴点D的坐标为:;
∴S四边形ABDC=AB?AC=4×6=24,
即:线段AB平移到CD扫过的面积为24;
故答案为:;24;
(2)①过点作交于,则,如图:
∴,
又∵,
∴.
②(i)当交线段于,且将四边形分成面积为两部分时,
连接,延长交轴于点,则,
∵,
又∵,
∴,
∴,
即,
∵,
∴,
∴,
∴.
(ii)当交于点,将四边形分成面积为两部分时,
连接,延长交轴于点,则.
过点作交的延长线于点,
则,
∴,
,
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