线性代数ppt第二章-n维向量.ppt

?§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量§2.4向量组的极大线性无关组一.定义如果向量组?1,?2,…,?s的部分组满足以下列条件:,…,?i1?,?i2ir线性无关;,…,?i1(1)?,?i2ir(2)?1,?2,…,?s中任一向量都可由线性表示,,…,?i1?,?i2ir极大线性无关组(maximallinearlyindependentsubset).为?1,?2,…,?s的一个,…,?i1则称?,?i2ir??§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量二.有关结论定理2.5.秩为r的向量组?1,?2,…,?s一定有由r个向量构成的极大无关组.!!命题2.1.秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.?§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量定理2.6.一个向量组的任意两个极大无关组都是等价的,因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同,且等于这个向量组的秩.命题2.2.一个向量组与它的任何一个极大无关组都是等价的.?§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量三.计算理论依据:(1)命题2.1(2)定理1.12(初等变换不改变矩阵的秩).例8.已知向量组?1,?2,?3线性无关,求?1??2,?2??3,?3??1,的一个极大无关组.?§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量练习1.设A=0104200500360000,求A的列向量组的一个极大无关组.练习2已知a,b互异，求向量组的一个极大无关组?第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵§2.6内积与正交矩阵一.Rn中向量的内积,长度和夹角1.设?=(a1,a2,…,an)T,?=(b1,b2,…,bn)T,记为[?,?],即则称实数?aibi为向量?与?的内积ni=1[?,?]=?aibi=?T?.ni=1(inner/dot/scalarproduct).??第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵2.内积的基本性质对称性:[?,?]=[?,?];(2)线性性:[k1?1+k2?2,?]=k1[?1,?]+k2[?2,?];(3)[?,?]?0;且[?,?]=0??=0.(4)(Cauchy-SchwartzInequality)|[?,?]|?[?,?][?,?].考察y=[?,?]x2+2[?,?]x+[?,?].n=?(xai+bi)2?0i=1??=(2[?,?])2?4[?,?][?,?]?0?[?,?]2?[?,?][?,?].?第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵3.对于n维实向量?,称[?,?]为?的长度(length)模(modulus),记为||?||,即4.长度的基本性质(3)三角不等式(TriangleInequality):[?,?]||?||==?ai2ni=1(1)正定性:||?||?0;且||?||=0??=?;(2)齐次性:||k?||=|k|·||?||(k?R);||?+?||?||?||+||?||.?第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵5.长度为1的向量称为单位向量(unitvector).对于非零向量?,||?||?1?是一个单位向量.——单位化/标准化(normalize).6.设?,??Rn,若??0,??0,则定义?,?的若[?,?]=0,即?=?/2,则称?与?正交(orthogonal).夹角(theanglebetween?and?)为?=arccos[?,?]||?||·||?||,0???