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一、解答题
1.如图1,已知,点A(1,a),AH⊥x轴,垂足为H,将线段AO平移至线段BC,点B(b,0),其中点A与点B对应,点O与点C对应,a、b满足.
(1)填空:①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________);
②直接写出三角形AOH的面积________.
(2)如图1,若点D(m,n)在线段OA上,证明:4m=n.
(3)如图2,连OC,动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动,同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过t秒,三角形AOP与三角形COQ的面积相等,试求t的值及点P的坐标.
解析:(1)①1,4;3,0;2,﹣4;②2;(2)见解析;(3)t=1.2时,P(0.6,0),t=2时,P(﹣1,0).
【分析】
(1)①利用非负数的性质求出a,b的值,可得结论.
②利用三角形面积公式求解即可.
(2)连接DH,根据△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积,构建关系式,可得结论.
(3)分两种情形:①当点P在线段OB上,②当点P在BO的延长线上时,分别利用面积关系,构建方程,可得结论.
【详解】
(1)解:①∵,
又∵≥0,(b﹣3)2≥0,
∴a=4,b=3,
∴A(1,4),B(3,0),
∵B是由A平移得到的,
∴A向右平移2个单位,向下平移4个单位得到B,
∴点C是由点O向右平移2个单位,向下平移4个单位得到的,
∴C(2,﹣4),
故答案为:1,4;3,0;2,﹣4.
②△AOH的面积=×1×4=2,
故答案为:2.
(2)证明:如图,连接DH.
∵△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积,
∴×1×n+×4×(1﹣m)=2,
∴4m=n.
(3)解:①当点P在线段OB上,
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得:
OP·yA=OQ·xC,
∴×(3﹣2t)×4=×2t,
解得t=1.2.
此时P(0.6,0).
②当点P在BO的延长线上时,
由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得:
OP·yA=OQ·xC,
×(2t﹣3)×4=×2×t,
解得t=2,
此时P(﹣1,0),
综上所述,t=1.2时,P(0.6,0),t=2时,P(﹣1,0).
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移,非负数的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2.如图1,//,点、分别在、上,点在直线、之间,且.
(1)求的值;
(2)如图2,直线分别交、的角平分线于点、,直接写出的值;
(3)如图3,在内,;在内,,直线分别交、分别于点、,且,直接写出的值.
解析:(1);(2)的值为40°;(3).
【分析】
(1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解;
(2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x,∠CFN=∠OFN=y,由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°,进而求解;
(3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及,可得,结合,可得
即可得关于n的方程,计算可求解n值.
【详解】
证明:过点O作OG∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥OG∥CD,
∴
∴
即
∵∠EOF=100°,
∴∠;
(2)解:过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,
∵EM平分∠BEO,FN平分∠CFO,
设
∵
∴
∴x-y=40°,
∵MK∥AB,NH∥CD,AB∥CD,
∴AB∥MK∥NH∥CD,
∴
∴
=x-y
=40°,
的值为40°;
(3)如图,设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,
∵AB∥CD,
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵FK在∠DFO内,
∴,
∵
∴
∴
即
∴
解得.
经检验,符合题意,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,灵活运用平行线的性质是解题的关键.
3.已知AB∥CD,线段EF分别与AB,CD相交于点E,F.
(1)请在横线上填上合适的内容,完成下面的解答:
如图1,当点P在线段EF上时,已知∠A=35°,∠C=62°,求∠APC的度数;
解:过点P作直线PH∥AB,
所以∠A=∠APH,依据是;
因为AB∥CD,PH∥AB,
所以PH∥CD,依据是;
所以∠C=(),
所以∠APC=()+()=∠A+∠C=97°.
(2)当点P,Q在线段EF上移动时(不包括E,F两点):
①如图2,∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立吗?请说明理由;
②如图3,∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP,∠M+∠MPQ+∠PQM=180°,请直接写出∠M,∠A与∠C的数量关系.
解析
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