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椭圆的几何性质

【本讲教育信息】

一.教学内容：

椭圆的几何性质

二.教学目标：

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解

椭圆的一些实际应用．

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念

的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

三.重点、难点：

重点：椭圆的几何性质及初步运用．

难点：椭圆离心率的概念的理解．

四.知识梳理

1、几何性质

（1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结

合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

（2）对称性

把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关

于y轴、x轴或原点对称

（3）顶点

在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；

令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶

点A（－a，0）、A（a，0）、B（0，－b）、B（0，b）．

1212

①线段AA、线段BB分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

1212

②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

（4）离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

椭圆的焦距与长轴的比

椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．

当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁；

当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

当e＝0时，c＝0，a＝b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2＋y2＝a2，图形就是圆了．

2、性质归纳为如下表：

标准方程

标准方程

图像

范围，，

对称性关于x轴、y轴均对称，关于原点中心对称

长轴端长轴端点A（0，

1

点A1（－a，0），A2（a，0）；－a），A（0，a）；短轴端

顶点坐标2

短轴端点B1（0，点B（－b，0），B（b，0）

12

－b），B（0，b）

2

焦点坐标F1（－c，0），F2（c，0）F1（0，－c），F2（0，c）

半轴长长半轴长：a，短半轴长：b

焦距2c

a，b，c关

系

离心率

【典型例题】

例1.求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画

出它的图形．

解：（解：1）列表。将，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标（x，y）

（2）描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整

个椭圆．

例2.若椭圆的离心率为e＝，求实数k的值。

解：当焦点在解：x轴上时，有得k＝8.

当焦点在y轴上时，有得k＝.

所求的k＝8或。

例3.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆

上点的