1.4　二次函数的应用 专题培优讲义 2023-2024学年浙教版九年级数学上册 .docx

浙教版数学九年级上册专题培优

专题2二次函数的应用

【知识梳理】

1．用待定系数法求二次函数的表达式：

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，

可设表达式为一般式：y＝______________(a≠0)；

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，

可设表达式为顶点式：y＝______________(a≠0)；

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，

可设表达式为交点式：y＝______________(a≠0)．

2．抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题．由抛物线捕捉对称信息的方式有：

(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；

(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的线段长获得对称信息．

3．应用二次函数解决实际问题一般有两种类型：

(1)抛物线模型类问题，这类问题解题的关键在于根据抛物线的形状和位置确定抛物线的表达式；

(2)函数模型类问题，这类问题解题的关键在于根据题中数量关系列出函数表达式，利用函数表达式分析、解决问题．

4．二次函数与一元二次方程、不等式有着密切关系，解决函数、方程、不等式等相关知识的综合性问题，数形结合思想是重要的思想方法．

【例题探究】

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连结PQ，则线段PQ的最小值是()

A．20cmB．18cm

C．2eq\r(5)cmD．3eq\r(2)cm

【方法归纳】实际问题中的最值问题，一般先建立函数关系式，再利用函数的性质进行求解，本例中要注意自变量t的取值范围，最小值不是在t＝3时取到．

【例2】某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝at2＋bt(a＜0)．如图，记录了y与t的两组数据．根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为()

A．2.25s

B．1.25s

C．0.75s

D．0.25s

【方法归纳】本题主要考查二次函数的应用，正确得出函数表达式是解题的关键．

【例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点(不与各顶点重合)，且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S(图中阴影部分)，AE＝x.

(1)求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．

(2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．

【方法归纳】函数最值问题一般先建立变量之间的函数关系，再利用函数的性质解决．

【例4】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．

如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2.

(1)求点P的坐标和a的值．

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

【方法归纳】本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的表达式．

【例5】某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yA＝eq\f(2,5)x，投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yB＝－eq\f(1,5)x2＋2x.

(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？

(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m＞0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？

(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

【方法归纳】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式．

【例6】服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件16元，根据市场调查，以单价20元/件批发给经销商，经销商愿意经销8000件，并且表示单价每降