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不等式的证明课堂实录
一、不等式证明的常用方法和根本不等式
师:前面我们复习了不等式的性质,此时此刻起先复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题:
[例1]求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
如何证明这个不等式呢?我们回忆一下,不等式证明有哪些常用的方法?
生:比拟法、分析法和综合法.
师:什么是比拟法?这个不等式能不能用比拟法来证明?
生:要证明a>b,只要证明a-b>0,这就是不等式证明的比拟法,这个不等式能用比拟法证明.
证法一
∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2
=(bc-ad)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
师:用比拟法证明不等式的根本步骤有哪些?
生:有三步:(1)作差(2)变形(3)确定符号
师:什么是分析法?这个不等式能不能用分析法来证明?
生:从求证的不等式启程,分析使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题;假如能够确定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.
证法二
要证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
也就是证明b2c2+a2d2≥2abcd
即(bc-ad)2≥0
∵(bc-ad)2≥0成立
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立
(老师指出应用分析法证明时要留意书写格式)
师:什么是综合法?这个不等式能不能用综合法来证明?
生:利用某些已经证明过的不等式作为根底,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式,这种方法是不等式证明的综合法,这个不等式能用综合法来证明.
证法三
∵b2c2+a2d2≥2abcd
∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
师:应用综合法证明的关键是找出作为根底的已经证明过的不等式.这些不等式大都是根本不等式,主要有:
a2+b2≥2ab(a、b∈R)
(a、b∈R+)
这里要留意:
(1)不等式成立的条件,字母的允许值范围;
(2)当且仅当a=b时,等号成立.
[这里变更了高三复习课先整理学问,然后讲解例题的传统模式,而是先提出问题让学生思索,创设问题情境,激起学生复习的欲望和要求,唤起学生对旧学问的回忆,引起学生的思维.这样可以提高学生复习的踊跃性.在此根底上,通过老师的启发,让学生自己逐步回忆过去所学的学问,应用它们来分析问题和解决问题,最好引导学生自己归纳、整理旧学问,形成比拟系统和完整的学问构造.]
二、不等式证明方法的应用
[例2]确定a、b、c是不全相等的正数.
求证:
(先让学生争论,然后由学生起来答复,老师板书.)
证明:∵
a、b、c是不全相等的正数
∴①②③中等号不同时成立
∴
即
(假如学生按上述步骤进展证明,老师应提出:这样证明有没有问题?让学生通过思索后发觉:在证明一起先必需先指出a、b、c∈R+,否那么不能确定①、②、③是否成立.)
师:在证明不等式时,应留意以下几点:
(1)不等式的逆向运用,要证明不等式可以先证明它的逆向不等式.
(2)确定条件在不等式证明中的应用.由于a、b、c是三个不全相等的正数,从而得出①、②、③中三个等号不同时成立,于是才能证得原不等式成立.
(3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.
[例3]确定a、b、c∈R+,求证:
(师生共同进展分析)
要证明
只要证明
也就是证明
如何证明这个不等式呢?(让学生争论后答复)
生:∵a、b∈R+
∴
∴
师:这样证明有没有问题?生:(答复略)
师:在证明中必需留意:
这是因为两个同向不等式相乘,必需两个不等式的两边都是正的,才能运用不等式性质得出正确的结论.
通过探讨我们可以得出如下结论:
(1)在证明不等式时,时时先用分析法思索,然后运用综合法来表达.
(2)在不等式证明中时时要综合应用其他的数学学问,如例3中要应用对数函数的增减性来证明.
(3)同向不等式相乘也是用综合法证明不等式的常用手段.
[复习根本方法除了理解方法本身以外,重点是复习它的应用,关键是驾驭运用根本方法的规律以及在运用时应留
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