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第7章差错控制编码循环码循环码除具有线性码的一般性质外,还具有循环性即任一码组循环一位以后,仍为该循环码中的一个许用码组。一、循环码的特点线性分组码
第7章差错控制编码循环码举例——(7,3)循环码码组信息位监督位码组信息位监督位编号a6a5a4a3a2a1a0编号a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101110611001013011100171110010
第7章差错控制编码例如A=0010111(1)A(x)=0x6+0x5+1x4+0x3+1x2+1x1+1x0=x4+x2+x+1xA(x)=x5+x3+x2+xA=0101110(2)2、码多项式——码组的多项式表示
第7章差错控制编码二、循环码的运算1、码多项式的按模运算若一个整数m,若可以表示为则:m≡p(模n)
第7章差错控制编码多项式F(x)被n次多项式N(x)除,得到商式q(x)和一个次数小于n的余式R(x),即码多项式系数仍按模2运算,即只取值0和1则写为F(x)≡R(x)(模N(x))
第7章差错控制编码
第7章差错控制编码例如
第7章差错控制编码在循环码中,若T(x)是一个长为n的许用码组,则在按模运算下,亦是一个许用码组。则T’(X)也是该编码码组中的一个许用码组
第7章差错控制编码2.循环码的生成矩阵G若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。在循环码中,一个(n,k)码有2k个不同码组,若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为0的码组,即g(x)=0…1x…xk位n-k位则g(x)、xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)都是码组,而且这k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵G。
第7章差错控制编码例表9—6的循环码,唯一的一个(n-k)次码多项式代表的码组是0010111,相对应的码多项式为一旦确定了g(x),则整个(n.k)循环码就被确定了。因此,循环码的生成矩阵G可以写成
第7章差错控制编码这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵,可以通过行变换,变换成系统码的生成矩阵。g(x)=x4+x2+x+1将此g(x)代入上式,得到
第7章差错控制编码g(x)的性质:g(x)必须是一个常数项a0=1;次数为(n-k)次;唯一的(n-k)次多项式;我们称这唯一的g(x)为码的生成多项式。g(x)是xn+1的因式(见后面分析)。
第7章差错控制编码说明g(x)是xn+1的因式。因为任码多项式T(x)都是g(x)的倍式,所以有T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一个码组,其次数为n-k次。把它循环移位k次仍为一个码组。所以xkg(x)是n次多项式,在模xn+1运算下,所以即
第7章差错控制编码因为xkg(x)是n次的,所以Q(x)=1。所以所以即g(x)是xn+1的因式。这样就可以通过对xn+1的因式分解得到g(x).
第7章差错控制编码最高次幂n-kg(x)是一个常数项为1最多k-1个连0是的一个因式;循环码的生成多项式生成多项式
第7章差错控制编码任意一码组多项式可表示为:一个k位的信息码组D=[dk-1,dk-2,…….d0]信息码多项式:T(x)=d(x)g(x)循环码
第7章差错控制编码d(x)代入T(X)得:不大于n-1次的多项式
第7章差错控制编码假如输入信息码元mk-1mk-2…m0则例:求(7,4)循环码的生成多项式g(x),当信息码组D=[1010]时,求输出码组
第7章差错控制编码若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。g(x)、xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)都是许用码组,而且这k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵G。循环码的生成矩阵G
第7章差错控制编码例表9—6的循环码,唯一的一个(n-k)次码多项式代表的码组是0010111,相对应的码多项式为因此,循环码的生成矩阵G可以写成
第7章差错控制编码这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵,可以通过行变换,变换成系统码的生成矩阵。g(x)=x4+x2+x+1将此g(x)代入上式,得
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