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数学教学与数学思想方法之关系

摘要：就中学数学教学而言，我们不仅需要在教学过程中帮助学

生夯实有形的“数学基础知识与基本技能”，更应注意蕴含于数学

知识发生、发展的数学思想方法。只有注重思想方法的渗透，才能

使学生真正深入透彻地理解与掌握数学知识。

关键词：数学思想方法数学教学

中学数学知识中蕴含着极其丰富的思想方法，其概念的形成、知

识的运用、问题的解决，都离不开思想方法的指导与运用。在中学，

就解决问题而言，化归方法是解决问题的基本思想方法；而类比、

归纳、联想等合情推理的方法是数学发现、创造的重要方法；字母

代表数、函数与方程、数形结合等是中学数学学习中的主要思想方

法。下面选择部分中学数学中常用的思想方法结合例子加以阐述。

一、化归的思想方法

所谓化归，就是把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类

已经解决或者比较容易解决的问题中去，借此来获得原问题的解决

的一种思想方法。在中学数学里化归方法用得相当普遍，例如有理

数的大小比较转化为算术数的大小比较，有理数四则运算转化为算

术数的四则运算，异分母分式加减转化为同分母分式加减，分式方

程转化为整式方程等。很多新知识都能通过转化成较简单的或已学

过的知识来解决，这里不再一一举例。

二、类比与归纳

所谓类比，就是根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在

其他特征也可能相似的结论的一种推理。而归纳是从个别事实中概

括出一般原理的科学方法，即是有特殊到一般的推理，可以说数学

里很多结论的得出都离不开归纳法。

例如利用分数的有关知识类比引入分式的相应概念、性质、法则

等。现举一个归纳的例子：七年级数学上册第6章复习题中的探索

研究第14题：

例1.（1）若平面内有点a、b、c，过其中任意两点画直线，最

少画几条直线？最多可以画几条？

（2）若平面内有点a、b、c、d，过其中任意两点画直线，最多

可以画几条直线？

（3）若平面内有5个点呢？有n个点呢？

解析：（1）过任意两点都能画一条直线，有3×2=6条直线，但

直线ab与直线ba是同一条直线，每一条直线都多数一次，因此最

多共有（3×2）÷2=3条直线。

（2）若平面内有四个点a、b、c、d，计算方法一样，最多共有

(4×3)÷2=6条直线。

（3）如平面内有五个点，最多有（5×4）÷2=10条直线，由此

归纳出平面内有n个点，最多【n×（n-1）】÷2条直线。

三、方程的思想方法

方程思想的核心是应用数学的符号化语言，将问题中的已知量与

未知量之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学

模型，然后通过对方程（方程组）、不等式的变换求出未知量的值，

使问题获解。用方程解决问题是中学数学里较为常用的一种方法。

现在另举例如下：

例2.a、b是两个不同的实数，a、b分别满足a2+a-1=0，b2+b-1=0，

求a2+b2的值。

解析：把a、b看作方程x2+x-1=0的两个根，由根与系数的关系

知，a+b=-1，a×b=-1，a2+b2=(a+b)2-2ab=(-1)2-2×（-1）=3，

显而意见较容易解决。若按常规方法计算量较大，不但费时费力而

且计算易错。

四、函数的思想方法

函数是中学数学中最重要的概念，函数思想在中学数学中随处可

见，是联结中学数学内容的一条主线。函数思想的应用，着重于运

动变化的观念与对应映射的思想。许多实际问题，大都可以建立函

数模型，再转化为解方程或不等式，应用其根作出决策，一直是中

考的一个热点。现举例如下：

例3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能

售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取

适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降价50元，平均

每天就能多售出4台。

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y

元，请写出y与x之间的函数关系表达式；（不要求写出x的取值

范围）

（2）商场要想在这种冰箱的销售中每天盈利4800元，同时又要

使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

解析：（1）根据题意得，y=(2400-2000-x)(8+4