沪科版数学八年级上册-直角三角形中30°角的性质定理.pptxVIP

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第3课时直角三角形中30°角的性质定理

1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）学习目标

导入新课问题引入问题1如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)分离拼接ABCDAC

问题2将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？

讲授新课含30°角的直角三角形的性质一ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD=BD=AB.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.你还能用其他方法证明吗？

证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．又∵AC⊥BD，ABCD∴BC=AB．∴BC=BD．证法1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．证明方法：倍长法

EABC证明2：在BA上截取BE=BC，连接EC.∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形.∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC.∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB．证明方法：截半法

知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，ABC∴BC=AB．

判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.

4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√

解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D

例2如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C．1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC

方法总结：当题图中含30°角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含30°角的直角三角形．

例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.

在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.∵AD是∠BAC的平分线，又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).

方法总结：含30°