专题 21 正弦定理、余弦定理8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）-备战2025年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用).docx

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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专题21正弦定理、余弦定理7题型分类

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

(1)a＝2RsinA，

b＝2RsinB，

c＝2RsinC；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，

sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c

＝sinA∶sinB∶sinC

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2．三角形解的判断

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

解的个数

一解

两解

一解

一解

3．三角形中常用的面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

4．在△ABC中，常有以下结论：

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.

(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin?eq\f(A＋B,2)＝cos?eq\f(C,2)；cos?eq\f(A＋B,2)＝sin?eq\f(C,2).

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

(6)三角形中的面积S＝eq\r(p?p－a??p－b??p－c?)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)?a＋b＋c?)).

5.测量中的几个有关术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：(1)北偏东α：

(2)南偏西α：

坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ

（一）

利用正弦定理、余弦定理解三角形

解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

题型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形

1-1．（2024·天津）在中，角所对的边分别是．已知．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．

【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；

（2）由余弦定理可得，，即，

解得：或（舍去）．

（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，

所以都为锐角，因此，，

．

1-2．（2024高三上·江西赣州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】三角形三内角和为，故可求角，利用正弦定理即可求.

【详解】因为，所以，

因为，所以．

故选：C.

1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（????）

A． B． C．8 D．4

【答案】D

【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.

【详解】在中，由可得，

即

所以，因为，

所以，且，

所以，又，可得，

由正弦定理可得．

故选：D.

（二）

正弦定理、余弦定理的简单应用

1.判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变