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第四节反常积分
在前面所讨论的定积分事实上是有条件的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数在积分区间上有界.但实际问题常常要突破这两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广：无穷区间上的积分——无穷限积分，无界函数在有限区间上的积分——无界函数积分或瑕积分.统称为反常积分，以前讨论过的定积分称为常义积分.
一、无穷限的反常积分
定义1设函数在区间上连续，取
如果极限
存在，则称此极限为函数在无穷区间上
的反常积分，记作
即
这时也称反常积分收敛；如果上述极限
不存在，函数在无穷区间上的反常积分
就没有意义，习惯上称为反常积分
发散，这时记号不再表示数值了.
类似的，设函数在区间上连续，取
如果极限
存在，则称此极限为函数在无穷区间上的
反常积分，记作
即
这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存
在，就称反常积分发散.
设函数在区间上连续，如果反常
积分
和
都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在
无穷区间上的反常积分，记作
即
这时也称反常积分收敛；否则就称反常积
分发散.
例1计算反常积分
例2证明反常积分当时收敛，
当时发散.
二、无界函数的反常积分
定义2设函数在区间上连续，点为
的瑕点.取如果极限
如果函数在点的任一邻域内都无界，那么点
称为函数的瑕点(也称为无界间断点).无界函数
的反常积分又称为瑕积分.
存在，则称此极限为函数在上的反常积
分，仍然记作
即
这时也称反常积分收敛.如果上述极限不
存在，就称反常积分发散.
类似地，设函数在上连续，点为
的瑕点.取如果极限
存在，则定义
否则，就称反常积分发散.
设函数在上除点外连续，点
为的瑕点.如果两个反常积分
都收敛，则定义
否则，就称反常积分发散.
例3计算反常积分
例4证明反常积分当时收敛；当
时发散.
注意
反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点.
反常积分中，莱布尼茨公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值.
如无穷限积分
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