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第三章直线与方程
3.1倾斜角与斜率
基础知识
(1)直线的倾斜角
①直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
③倾斜角的范围
(2)直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为的直线斜率不存在.
记作
⑴当直线与轴平行或重合时,,
⑵当直线与轴垂直时,,不存在.
②经过两点的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率.
(3)求斜率的一般方法:
①已知直线上两点,根据斜率公式求斜率;
②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率;
(4)利用斜率证明三点共线的方法:
已知,若,则有A、B、C三点共线。
(5)直线平行与垂直
①两条直线平行:对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有
特别地,当直线的斜率都不存在时,的关系为平行
②两条直线垂直:如果两条直线斜率存在,设为,则有
注:两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;
由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,互相垂直.
基础题目
1.下列命题正确的是(A)
(A)若直线的斜率存在,则必有倾斜角α与它对应
(B)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应
(C)直线的斜率为k,则这条直线的倾斜角为arctank
(D)直线的倾斜角为α,则这条直线的斜率为tanα
2.过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则a等于(B)
(A)-8(B)10(C)2(D)4
3.过点A(2,b)和点B(3,-2)的直线的倾斜角为,则b的值是(A)
(A)-1(B)1(C)-5(D)5
4.如图,若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(B)
(A)k1k2k3(B)k3k1k2
(C)k3k2k1(D)k1k3k2
5.已知三点A(2,-3),B(4,3),C(5,)在同一直线上,则m的值为12.
6.已知y轴上的点B与点A(-,1)连线所成直线的倾斜角为120°,则点B的坐标为(0,-2).
7.已知A(-2,3),B(3,2),过点P(0,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-5/2,5/3).
3.2直线的方程
基础知识
直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
①点斜式
为直线上一定点,
为斜率
不包括垂直于轴的直线
②斜截式
为斜率,是直线在轴
上的截距
不包括垂直于轴的直线
③两点式
不包括垂直于轴和轴的直线
④截距式
是直线在轴上的非零截距,是直线在轴上的非零截距
不包括垂直于轴和轴或过原点的直线
⑤一般式
无限制,可表示任何位置的直线
问题:过两点的直线是否一定可用两点式方程表示?【不一定】
(1)若,直线垂直于轴,方程为;
(2)若,直线垂直于轴,方程为;
(3)若,直线方程可用两点式表示
直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式;
利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.
用截距式方程表示直线时,要注意以下几点:方程的条件限制为,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线;用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度.
截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离”,可正可负。
(2)线段的中点坐标公式
3.3直线的交点坐标与距离
(1)两条直线的交点
设两条直线的方程是,
两条直线的交点坐标就是方程组的解。
①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标;
②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.
(2)几种距离
两点间的距离:平面上的两点间的距离公式
特别地,原点与任一点的距离
点到直线的距离:点到直线的距离
两条平行线间的距离:两条平行线间的距离
注:1求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;
2求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。
基础练习
1.直线=-1在y轴上的截距是(B)
A.2B.3C.-2D.-3
2.已知直线l过点M(-1,0),并且斜率为1,则直线l的方程是(B)
A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x―y―1=0
3.下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是(B)
A.x=3B.y=-5C.2y=x
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