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第十八章“勾股定理”简介

课程教材探究所薛彬本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过视察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此根底上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。本章教学时间约需8课时，详细支配如下：18.1勾股定理4课时18.2勾股定理的逆定理3课时数学活动小结1课时一、教科书内容和课程学习目标本章学问构造框图：直角三角形是一种特别的三角形，它有很多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所探究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条特别重要的性质。勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它提醒了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决很多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。目前世界上很多科学家正在试图找寻其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国闻名数学家华罗庚曾建议，放射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们必须会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发觉勾股定理，尤其在2000多年前，是特别了不得的成就。在第一节中，教科书让学生通过视察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发觉两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发觉勾股定理。勾股定理的证明方法许多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更。在教科书中，图18.1－3〔1〕中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3〔3〕中的图形。由此就证明白勾股定理。通过推理证明命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，确定两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，确定斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，确定两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应支配了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在其次节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发觉画出的三角形是直角三角形。从而猜测假如三角形的三边满意两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜测可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书支配了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。事实上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。几何中有很多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面提醒了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题〔定理〕，例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比拟简洁。因此，教科书在前面已有感性相识的根底上，在其次节中，结合勾股定理的逆定理的内容的绽开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不必须成立。为稳固这些内容，相应配备了一些练习与习题。本章学习目标如下：1.体验勾股定理的探究过程，会运用勾股定理解决简洁问题；2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.通过详细的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不必须成立。二、本章编写特点〔一〕让学生体验勾股定理的探究和运用过程勾股定理的发觉从传闻故事讲起，从故事中可以发觉等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。再看一些其他直角三角形，发觉也有上述性质。因而猜测全部直角三角形都有这特性质，即假如直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么〔教科书把这个猜测记作命题1，把下节“假如三角形的三边长满意，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题〕。教科书让学生用勾股定理探究三个问题。探究1是木板进门问题。遵照确定数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试