第十章 第1节_可编辑.docVIP

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第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

必威体育精装版考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

知识梳理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

[常用结论与微点提醒]

1．应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步．

在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏．

2．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

诊断自测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()

解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确．

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()

A．6B．5C．3D．2

解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法．

答案B

3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()

A．24种 B．30种

C．36种 D．48种

解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)．

答案D

4．(2019·舟山调研)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条；若每两个同学互通一次电话，那么共通________次电话(均用数字作答)．

解析第1位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言；依次下去，第40位同学给余下的39位同学各写一条留言，共39条留言，故全班共写了40×39＝1560条毕业留言．显然互通一次电话的次数为eq\f(1,2)×1560＝780.

答案1560780

5．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种(用数字作答)．

解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种)．

答案32

6．已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答)．

解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法．

答案20

考点一分类加法计数原理

【例1】(1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()

A．4种 B．6种 C．10种 D．16种

(2)(2019·温州十校联考)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()

A．14 B．13 C．12 D．10

解析(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，

同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．

由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．

(2)①当a＝0，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1，0，1，2有4种可能；

②当a≠