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高中数学核心知识点常考题型精析:立体几何(文)
一、空间距离的计算
1.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()
A.
2
B.
C.
D.
1
2.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
3.已知直二面角α﹣l﹣β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=()
A.
2
B.
C.
D.
1
4.如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1的距离.
5.如图,四棱锥P﹣ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.
(Ⅰ)求证:PC⊥AD;
(Ⅱ)在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?若存在,指出点Q的位置并证明;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求点D到平面PAM的距离.
6.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,侧SBC是正三角形,点E是SB的中点,且AE⊥平面ABC.
(1)证明:SD∥平面ACE;
(2)若AB⊥AS,BC=2,求点S到平面ABC的距离.
二、空间角的计算
7.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()
A.
B.
C.
D.
8.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
9.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
10.已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()
A.
B.
C.
D.
11.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为,若空间有一条直线l与直线CC1,所成的角为,则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是()
A.
[,]
B.
[,]
C.
[,]
D.
[0,]
12.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为()
A.
7π
B.
9π
C.
11π
D.
13π
13.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为_________.
14.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_________.
15.如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.
(Ⅰ)证明:AC⊥平面BCDE;
(Ⅱ)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.
16.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
17.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.
(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小.
18.如图,已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A、B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.
(Ⅰ)证明:AB⊥平面ODE;
(Ⅱ)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
19.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.
20.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离;
(Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值.
21.如图,在四棱锥P﹣A
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